Cálculo Ejemplos

$P (t) = 20 {(65 + 5 t)}^{2} - 1300 t$ , $t = 8$

Paso 1

El porcentaje de la tasa de cambio de la función es el valor de la derivada (tasa de cambio) a $8$ sobre el valor de la función a $8$ .

$\frac{f' (8)}{f (8)}$

Paso 2

Sustituye las funciones en la fórmula para obtener la función del porcentaje de la tasa de cambio.

$\frac{1000 t + 11700}{20 {(65 + 5 t)}^{2} - 1300 t}$

Paso 3

Simplifica los términos.

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Paso 3.1

Cancela el factor común de $1000 t + 11700$ y $20 {(65 + 5 t)}^{2} - 1300 t$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $20$ de $1000 t$ .

$\frac{f' (t)}{f (t)} = \frac{20 (50 t) + 11700}{20 {(65 + 5 t)}^{2} - 1300 t}$

Paso 3.1.2

Factoriza $20$ de $11700$ .

$\frac{f' (t)}{f (t)} = \frac{20 (50 t) + 20 \cdot 585}{20 {(65 + 5 t)}^{2} - 1300 t}$

Paso 3.1.3

Factoriza $20$ de $20 (50 t) + 20 (585)$ .

$\frac{f' (t)}{f (t)} = \frac{20 (50 t + 585)}{20 {(65 + 5 t)}^{2} - 1300 t}$

Paso 3.1.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.1.4.1

Factoriza $20$ de $20 {(65 + 5 t)}^{2}$ .

$\frac{f' (t)}{f (t)} = \frac{20 (50 t + 585)}{20 ({(65 + 5 t)}^{2}) - 1300 t}$

Paso 3.1.4.2

Factoriza $20$ de $- 1300 t$ .

$\frac{f' (t)}{f (t)} = \frac{20 (50 t + 585)}{20 ({(65 + 5 t)}^{2}) + 20 (- 65 t)}$

Paso 3.1.4.3

Factoriza $20$ de $20 ({(65 + 5 t)}^{2}) + 20 (- 65 t)$ .

$\frac{f' (t)}{f (t)} = \frac{20 (50 t + 585)}{20 ({(65 + 5 t)}^{2} - 65 t)}$

Paso 3.1.4.4

Cancela el factor común.

$\frac{f' (t)}{f (t)} = \frac{20 (50 t + 585)}{20 ({(65 + 5 t)}^{2} - 65 t)}$

Paso 3.1.4.5

Reescribe la expresión.

$\frac{f' (t)}{f (t)} = \frac{50 t + 585}{{(65 + 5 t)}^{2} - 65 t}$

Paso 3.2

Factoriza $5$ de $50 t + 585$ .

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Paso 3.2.1

Factoriza $5$ de $50 t$ .

$\frac{f' (t)}{f (t)} = \frac{5 (10 t) + 585}{{(65 + 5 t)}^{2} - 65 t}$

Paso 3.2.2

Factoriza $5$ de $585$ .

$\frac{f' (t)}{f (t)} = \frac{5 (10 t) + 5 (117)}{{(65 + 5 t)}^{2} - 65 t}$

Paso 3.2.3

Factoriza $5$ de $5 (10 t) + 5 (117)$ .

$\frac{f' (t)}{f (t)} = \frac{5 (10 t + 117)}{{(65 + 5 t)}^{2} - 65 t}$

Paso 4

Simplifica el denominador.

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Paso 4.1

Sea $u = t$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $t$ .

$\frac{f' (t)}{f (t)} = \frac{5 (10 t + 117)}{4225 + 25 u^{2} + 585 u}$

Paso 4.2

Factoriza $5$ de $4225 + 25 u^{2} + 585 u$ .

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Paso 4.2.1

Factoriza $5$ de $4225$ .

$\frac{f' (t)}{f (t)} = \frac{5 (10 t + 117)}{5 (845) + 25 u^{2} + 585 u}$

Paso 4.2.2

Factoriza $5$ de $25 u^{2}$ .

$\frac{f' (t)}{f (t)} = \frac{5 (10 t + 117)}{5 (845) + 5 (5 u^{2}) + 585 u}$

Paso 4.2.3

Factoriza $5$ de $585 u$ .

$\frac{f' (t)}{f (t)} = \frac{5 (10 t + 117)}{5 (845) + 5 (5 u^{2}) + 5 (117 u)}$

Paso 4.2.4

Factoriza $5$ de $5 (845) + 5 (5 u^{2})$ .

$\frac{f' (t)}{f (t)} = \frac{5 (10 t + 117)}{5 (845 + 5 u^{2}) + 5 (117 u)}$

Paso 4.2.5

Factoriza $5$ de $5 (845 + 5 u^{2}) + 5 (117 u)$ .

$\frac{f' (t)}{f (t)} = \frac{5 (10 t + 117)}{5 (845 + 5 u^{2} + 117 u)}$

Paso 4.3

Reordena los términos.

$\frac{f' (t)}{f (t)} = \frac{5 (10 t + 117)}{5 (5 u^{2} + 117 u + 845)}$

Paso 4.4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $t$ .

$\frac{f' (t)}{f (t)} = \frac{5 (10 t + 117)}{5 (5 t^{2} + 117 t + 845)}$

Paso 5

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.1

Cancela el factor común.

$\frac{f' (t)}{f (t)} = \frac{5 (10 t + 117)}{5 (5 t^{2} + 117 t + 845)}$

Paso 5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{f' (t)}{f (t)} = \frac{10 t + 117}{5 t^{2} + 117 t + 845}$

Paso 6

Evalúa la fórmula en $t = 8$ .

$\frac{10 (8) + 117}{5 {(8)}^{2} + 117 (8) + 845}$

Paso 7

Simplifica $\frac{10 (8) + 117}{5 {(8)}^{2} + 117 (8) + 845}$ .

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Paso 7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1.1

Multiplica $10$ por $8$ .

$\frac{80 + 117}{5 \cdot 8^{2} + 117 (8) + 845}$

Paso 7.1.2

Suma $80$ y $117$ .

$\frac{197}{5 \cdot 8^{2} + 117 (8) + 845}$

Paso 7.2

Simplifica el denominador.

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Paso 7.2.1

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$\frac{197}{5 \cdot 64 + 117 (8) + 845}$

Paso 7.2.2

Multiplica $5$ por $64$ .

$\frac{197}{320 + 117 (8) + 845}$

Paso 7.2.3

Multiplica $117$ por $8$ .

$\frac{197}{320 + 936 + 845}$

Paso 7.2.4

Suma $320$ y $936$ .

$\frac{197}{1256 + 845}$

Paso 7.2.5

Suma $1256$ y $845$ .

$\frac{197}{2101}$

Paso 8

Convierte $\frac{197}{2101}$ a un decimal.

$0.09376487$

Paso 9

Convierte $0.09376487$ en un porcentaje.

$9.37648738$ %