Cálculo Ejemplos

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 9}$ , $x = 4$

Paso 1

El porcentaje de la tasa de cambio de la función es el valor de la derivada (tasa de cambio) a $4$ sobre el valor de la función a $4$ .

$\frac{f' (4)}{f (4)}$

Paso 2

Sustituye las funciones en la fórmula para obtener la función del porcentaje de la tasa de cambio.

$\frac{\frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{\sqrt{x^{2} + 9}}$

Paso 3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{f' (x)}{f (x)} = \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 9}}$

Paso 4

Combina fracciones.

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Paso 4.1

Combinar.

$\frac{f' (x)}{f (x)} = \frac{x \cdot 1}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x^{2} + 9}}$

Paso 4.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{f' (x)}{f (x)} = \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{x^{2} + 9}}$

Paso 5

Simplifica el denominador.

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Paso 5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x^{2} + 9}$ como ${(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{f' (x)}{f (x)} = \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{f' (x)}{f (x)} = \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}$

Paso 5.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{f' (x)}{f (x)} = \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1 + 1}{2}}}$

Paso 5.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{f' (x)}{f (x)} = \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 5.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{f' (x)}{f (x)} = \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 5.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{f' (x)}{f (x)} = \frac{x}{x^{2} + 9}$

Paso 6

Evalúa la fórmula en $x = 4$ .

$\frac{4}{{({(4)}^{2} + 9)}^{1}}$

Paso 7

Simplifica el denominador.

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Paso 7.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\frac{4}{{(16 + 9)}^{1}}$

Paso 7.2

Suma $16$ y $9$ .

$\frac{4}{25^{1}}$

Paso 7.3

Evalúa el exponente.

$\frac{4}{25}$

Paso 8

Convierte $\frac{4}{25}$ a un decimal.

$0.16$

Paso 9

Convierte $0.16$ en un porcentaje.

$16$ %