Cálculo Ejemplos

$H (u) = (u - \sqrt{u}) (u + \sqrt{u})$

Paso 1

Considera la fórmula del cociente diferencial.

$\frac{f (u + h) - f u}{h}$

Paso 2

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 2.1

Evalúa la función en $x = u + h$ .

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Paso 2.1.1

Reemplaza la variable $u$ con $u + h$ en la expresión.

$H (u + h) = ((u + h) - \sqrt{u + h}) ((u + h) + \sqrt{u + h})$

Paso 2.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.1.2.1

Expande $(u + h - \sqrt{u + h}) (u + h + \sqrt{u + h})$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$H (u + h) = u \cdot u + u h + u \sqrt{u + h} + h u + h \cdot h + h \sqrt{u + h} - \sqrt{u + h} u - \sqrt{u + h} h - \sqrt{u + h} \sqrt{u + h}$

Paso 2.1.2.2

Simplifica los términos.

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Paso 2.1.2.2.1

Combina los términos opuestos en $u \cdot u + u h + u \sqrt{u + h} + h u + h \cdot h + h \sqrt{u + h} - \sqrt{u + h} u - \sqrt{u + h} h - \sqrt{u + h} \sqrt{u + h}$ .

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Paso 2.1.2.2.1.1

Reordena los factores en los términos $u \sqrt{u + h}$ y $- \sqrt{u + h} u$ .

$H (u + h) = u \cdot u + u h + u \sqrt{u + h} + h u + h \cdot h + h \sqrt{u + h} - u \sqrt{u + h} - \sqrt{u + h} h - \sqrt{u + h} \sqrt{u + h}$

Paso 2.1.2.2.1.2

Resta $u \sqrt{u + h}$ de $u \sqrt{u + h}$ .

$H (u + h) = u \cdot u + u h + h u + h \cdot h + h \sqrt{u + h} + 0 - \sqrt{u + h} h - \sqrt{u + h} \sqrt{u + h}$

Paso 2.1.2.2.1.3

Suma $u \cdot u + u h + h u + h \cdot h + h \sqrt{u + h}$ y $0$ .

$H (u + h) = u \cdot u + u h + h u + h \cdot h + h \sqrt{u + h} - \sqrt{u + h} h - \sqrt{u + h} \sqrt{u + h}$

Paso 2.1.2.2.1.4

Reordena los factores en los términos $h \sqrt{u + h}$ y $- \sqrt{u + h} h$ .

$H (u + h) = u \cdot u + u h + h u + h \cdot h + h \sqrt{u + h} - h \sqrt{u + h} - \sqrt{u + h} \sqrt{u + h}$

Paso 2.1.2.2.1.5

Resta $h \sqrt{u + h}$ de $h \sqrt{u + h}$ .

$H (u + h) = u \cdot u + u h + h u + h \cdot h + 0 - \sqrt{u + h} \sqrt{u + h}$

Paso 2.1.2.2.1.6

Suma $u \cdot u + u h + h u + h \cdot h$ y $0$ .

$H (u + h) = u \cdot u + u h + h u + h \cdot h - \sqrt{u + h} \sqrt{u + h}$

Paso 2.1.2.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.2.2.1

Multiplica $u$ por $u$ .

$H (u + h) = u^{2} + u h + h u + h \cdot h - \sqrt{u + h} \sqrt{u + h}$

Paso 2.1.2.2.2.2

Multiplica $h$ por $h$ .

$H (u + h) = u^{2} + u h + h u + h^{2} - \sqrt{u + h} \sqrt{u + h}$

Paso 2.1.2.2.2.3

Multiplica $- \sqrt{u + h} \sqrt{u + h}$ .

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Paso 2.1.2.2.2.3.1

Eleva $\sqrt{u + h}$ a la potencia de $1$ .

$H (u + h) = u^{2} + u h + h u + h^{2} - (\sqrt{u + h} \sqrt{u + h})$

Paso 2.1.2.2.2.3.2

Eleva $\sqrt{u + h}$ a la potencia de $1$ .

$H (u + h) = u^{2} + u h + h u + h^{2} - (\sqrt{u + h} \sqrt{u + h})$

Paso 2.1.2.2.2.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$H (u + h) = u^{2} + u h + h u + h^{2} - {\sqrt{u + h}}^{1 + 1}$

Paso 2.1.2.2.2.3.4

Suma $1$ y $1$ .

$H (u + h) = u^{2} + u h + h u + h^{2} - {\sqrt{u + h}}^{2}$

Paso 2.1.2.2.2.4

Reescribe ${\sqrt{u + h}}^{2}$ como $u + h$ .

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Paso 2.1.2.2.2.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u + h}$ como ${(u + h)}^{\frac{1}{2}}$ .

$H (u + h) = u^{2} + u h + h u + h^{2} - {({(u + h)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Paso 2.1.2.2.2.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$H (u + h) = u^{2} + u h + h u + h^{2} - {(u + h)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Paso 2.1.2.2.2.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$H (u + h) = u^{2} + u h + h u + h^{2} - {(u + h)}^{\frac{2}{2}}$

Paso 2.1.2.2.2.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.2.2.2.4.4.1

Cancela el factor común.

$H (u + h) = u^{2} + u h + h u + h^{2} - {(u + h)}^{\frac{2}{2}}$

Paso 2.1.2.2.2.4.4.2

Reescribe la expresión.

$H (u + h) = u^{2} + u h + h u + h^{2} - (u + h)$

Paso 2.1.2.2.2.4.5

Simplifica.

$H (u + h) = u^{2} + u h + h u + h^{2} - (u + h)$

Paso 2.1.2.2.2.5

Aplica la propiedad distributiva.

$H (u + h) = u^{2} + u h + h u + h^{2} - u - h$

Paso 2.1.2.3

Suma $u h$ y $h u$ .

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Paso 2.1.2.3.1

Reordena $u$ y $h$ .

$H (u + h) = u^{2} + h u + h u + h^{2} - u - h$

Paso 2.1.2.3.2

Suma $h u$ y $h u$ .

$H (u + h) = u^{2} + 2 h u + h^{2} - u - h$

Paso 2.1.2.4

La respuesta final es $u^{2} + 2 h u + h^{2} - u - h$ .

$u^{2} + 2 h u + h^{2} - u - h$

Paso 2.2

Reordena.

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Paso 2.2.1

Mueve $- u$ .

$u^{2} + 2 h u + h^{2} - h - u$

Paso 2.2.2

Mueve $u^{2}$ .

$2 h u + h^{2} + u^{2} - h - u$

Paso 2.2.3

Reordena $2 h u$ y $h^{2}$ .

$h^{2} + 2 h u + u^{2} - h - u$

Paso 2.3

Obtén los componentes de la definición.

$H (u + h) = h^{2} + 2 h u + u^{2} - h - u$

$H (u) = u^{2} - u$

$H (u + h) = h^{2} + 2 h u + u^{2} - h - u$

$H (u) = u^{2} - u$

Paso 3

Inserta los componentes.

$\frac{H (u + h) - H u}{h} = \frac{h^{2} + 2 h u + u^{2} - h - u - (u^{2} - u)}{h}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{h^{2} + 2 h u + u^{2} - h - u - u^{2} - - u}{h}$

Paso 4.1.2

Multiplica $- - u$ .

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Paso 4.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{h^{2} + 2 h u + u^{2} - h - u - u^{2} + 1 u}{h}$

Paso 4.1.2.2

Multiplica $u$ por $1$ .

$\frac{h^{2} + 2 h u + u^{2} - h - u - u^{2} + u}{h}$

Paso 4.1.3

Resta $u^{2}$ de $u^{2}$ .

$\frac{h^{2} + 2 h u - h - u + 0 + u}{h}$

Paso 4.1.4

Suma $h^{2}$ y $0$ .

$\frac{h^{2} + 2 h u - h - u + u}{h}$

Paso 4.1.5

Suma $- u$ y $u$ .

$\frac{h^{2} + 2 h u - h + 0}{h}$

Paso 4.1.6

Suma $h^{2} + 2 h u - h$ y $0$ .

$\frac{h^{2} + 2 h u - h}{h}$

Paso 4.1.7

Factoriza $h$ de $h^{2} + 2 h u - h$ .

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Paso 4.1.7.1

Factoriza $h$ de $h^{2}$ .

$\frac{h \cdot h + 2 h u - h}{h}$

Paso 4.1.7.2

Factoriza $h$ de $2 h u$ .

$\frac{h (h) + h (2 u) - h}{h}$

Paso 4.1.7.3

Factoriza $h$ de $- h$ .

$\frac{h (h) + h (2 u) + h \cdot - 1}{h}$

Paso 4.1.7.4

Factoriza $h$ de $h (h) + h (2 u)$ .

$\frac{h (h + 2 u) + h \cdot - 1}{h}$

Paso 4.1.7.5

Factoriza $h$ de $h (h + 2 u) + h \cdot - 1$ .

$\frac{h (h + 2 u - 1)}{h}$

Paso 4.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común de $h$ .

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Paso 4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{h (h + 2 u - 1)}{h}$

Paso 4.2.1.2

Divide $h + 2 u - 1$ por $1$ .

$h + 2 u - 1$

Paso 4.2.2

Reordena $h$ y $2 u$ .

$2 u + h - 1$

Paso 5