Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{1 - \sin (x)}{\csc (x)}$

Paso 1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\frac{π}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} 1 - \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \csc (x)}$

Paso 2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\frac{π}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} 1 - lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \csc (x)}$

Paso 3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1 - lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \csc (x)}$

Paso 4

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{1 - \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \csc (x)}$

Paso 5

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la cosecante es continua.

$\frac{1 - \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{\csc (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

Paso 6

Evalúa los límites mediante el ingreso de $\frac{π}{2}$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 6.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{π}{2}$ para $x$ .

$\frac{1 - \sin (\frac{π}{2})}{\csc (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

Paso 6.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{π}{2}$ para $x$ .

$\frac{1 - \sin (\frac{π}{2})}{\csc (\frac{π}{2})}$

Paso 7

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1.1

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{\csc (\frac{π}{2})}$

Paso 7.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1}{\csc (\frac{π}{2})}$

Paso 7.1.3

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{\csc (\frac{π}{2})}$

Paso 7.2

El valor exacto de $\csc (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$\frac{0}{1}$

Paso 7.3

Divide $0$ por $1$ .

$0$