Cálculo Ejemplos

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{x + h} - \frac{2}{x}}{h}$

Paso 1

Combina los términos.

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Paso 1.1

Para escribir $\frac{2}{x + h}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{2}{x}}{h}$

Paso 1.2

Para escribir $- \frac{2}{x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + h}{x + h}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{2}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

Paso 1.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x + h) x$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 1.3.1

Multiplica $\frac{2}{x + h}$ por $\frac{x}{x}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x}{(x + h) x} - \frac{2}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

Paso 1.3.2

Multiplica $\frac{2}{x}$ por $\frac{x + h}{x + h}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x}{(x + h) x} - \frac{2 (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Paso 1.3.3

Reordena los factores de $(x + h) x$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x}{x (x + h)} - \frac{2 (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Paso 1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x - 2 (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Simplifica el argumento de límite.

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Paso 2.1.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{h \to 0} \frac{2 x - 2 (x + h)}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 2.1.2

Multiplica $\frac{2 x - 2 (x + h)}{x (x + h)}$ por $\frac{1}{h}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 x - 2 (x + h)}{x (x + h) h}$

Paso 2.2

Mueve el término $\frac{1}{x}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{2 x - 2 (x + h)}{(x + h) h}$

Paso 3

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 3.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 3.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{1}{x} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 2 x - 2 (x + h)}{lim_{h \to 0} (x + h) h}$

Paso 3.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 3.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 3.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 2 x - lim_{h \to 0} 2 (x + h)}{lim_{h \to 0} (x + h) h}$

Paso 3.1.2.1.2

Evalúa el límite de $2 x$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{2 x - lim_{h \to 0} 2 (x + h)}{lim_{h \to 0} (x + h) h}$

Paso 3.1.2.1.3

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{2 x - 2 lim_{h \to 0} x + h}{lim_{h \to 0} (x + h) h}$

Paso 3.1.2.1.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{2 x - 2 (lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)}{lim_{h \to 0} (x + h) h}$

Paso 3.1.2.1.5

Evalúa el límite de $x$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{2 x - 2 (x + lim_{h \to 0} h)}{lim_{h \to 0} (x + h) h}$

Paso 3.1.2.2

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{2 x - 2 (x + 0)}{lim_{h \to 0} (x + h) h}$

Paso 3.1.2.3

Combina los términos opuestos en $2 x - 2 (x + 0)$ .

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Paso 3.1.2.3.1

Suma $x$ y $0$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{2 x - 2 x}{lim_{h \to 0} (x + h) h}$

Paso 3.1.2.3.2

Resta $2 x$ de $2 x$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{0}{lim_{h \to 0} (x + h) h}$

Paso 3.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 3.1.3.1

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{0}{lim_{h \to 0} x + h \cdot lim_{h \to 0} h}$

Paso 3.1.3.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{0}{(lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h) \cdot lim_{h \to 0} h}$

Paso 3.1.3.3

Evalúa el límite de $x$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{0}{(x + lim_{h \to 0} h) \cdot lim_{h \to 0} h}$

Paso 3.1.3.4

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $h$ .

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Paso 3.1.3.4.1

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{0}{(x + 0) \cdot lim_{h \to 0} h}$

Paso 3.1.3.4.2

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{0}{(x + 0) \cdot 0}$

Paso 3.1.3.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.1.3.5.1

Suma $x$ y $0$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{0}{x \cdot 0}$

Paso 3.1.3.5.2

Multiplica $x$ por $0$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 3.1.3.5.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{1}{x} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 3.1.3.6

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{1}{x} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 3.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{1}{x} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 3.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{h \to 0} \frac{2 x - 2 (x + h)}{(x + h) h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2 x - 2 (x + h)]}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

Paso 3.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2 x - 2 (x + h)]}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

Paso 3.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - 2 (x + h)$ con respecto a $h$ es $\frac{d}{d h} [2 x] + \frac{d}{d h} [- 2 (x + h)]$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2 x] + \frac{d}{d h} [- 2 (x + h)]}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

Paso 3.3.3

Como $2 x$ es constante con respecto a $h$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $h$ es $0$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d h} [- 2 (x + h)]}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

Paso 3.3.4

Evalúa $\frac{d}{d h} [- 2 (x + h)]$ .

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Paso 3.3.4.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $h$ , la derivada de $- 2 (x + h)$ con respecto a $h$ es $- 2 \frac{d}{d h} [x + h]$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{0 - 2 \frac{d}{d h} [x + h]}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

Paso 3.3.4.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + h$ con respecto a $h$ es $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{0 - 2 (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h])}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

Paso 3.3.4.3

Como $x$ es constante con respecto a $h$ , la derivada de $x$ con respecto a $h$ es $0$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{0 - 2 (0 + \frac{d}{d h} [h])}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

Paso 3.3.4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ es $n h^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{0 - 2 (0 + 1)}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

Paso 3.3.4.5

Suma $0$ y $1$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{0 - 2 \cdot 1}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

Paso 3.3.4.6

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{0 - 2}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

Paso 3.3.5

Resta $2$ de $0$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{- 2}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

Paso 3.3.6

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d h} [f (h) g (h)]$ es $f (h) \frac{d}{d h} [g (h)] + g (h) \frac{d}{d h} [f (h)]$ donde $f (h) = x + h$ y $g (h) = h$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{- 2}{(x + h) \frac{d}{d h} [h] + h \frac{d}{d h} [x + h]}$

Paso 3.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ es $n h^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{- 2}{(x + h) \cdot 1 + h \frac{d}{d h} [x + h]}$

Paso 3.3.8

Multiplica $x + h$ por $1$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{- 2}{x + h + h \frac{d}{d h} [x + h]}$

Paso 3.3.9

Según la regla de la suma, la derivada de $x + h$ con respecto a $h$ es $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{- 2}{x + h + h (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h])}$

Paso 3.3.10

Como $x$ es constante con respecto a $h$ , la derivada de $x$ con respecto a $h$ es $0$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{- 2}{x + h + h (0 + \frac{d}{d h} [h])}$

Paso 3.3.11

Suma $0$ y $\frac{d}{d h} [h]$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{- 2}{x + h + h \frac{d}{d h} [h]}$

Paso 3.3.12

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ es $n h^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{- 2}{x + h + h \cdot 1}$

Paso 3.3.13

Multiplica $h$ por $1$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{- 2}{x + h + h}$

Paso 3.3.14

Suma $h$ y $h$ .

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{- 2}{x + 2 h}$

Paso 3.3.15

Reordena los términos.

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{- 2}{2 h + x}$

Paso 4

Evalúa el límite.

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Paso 4.1

Mueve el término $- 2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$\frac{1}{x} \cdot - 2 lim_{h \to 0} \frac{1}{2 h + x}$

Paso 4.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{x} \cdot - 2 \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} 2 h + x}$

Paso 4.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{x} \cdot - 2 \frac{1}{lim_{h \to 0} 2 h + x}$

Paso 4.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{x} \cdot - 2 \frac{1}{lim_{h \to 0} 2 h + lim_{h \to 0} x}$

Paso 4.5

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$\frac{1}{x} \cdot - 2 \frac{1}{2 lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} x}$

Paso 4.6

Evalúa el límite de $x$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{x} \cdot - 2 \frac{1}{2 lim_{h \to 0} h + x}$

Paso 5

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$\frac{1}{x} \cdot - 2 \frac{1}{2 \cdot 0 + x}$

Paso 6

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.1

Combina $\frac{1}{x}$ y $- 2$ .

$\frac{- 2}{x} \cdot \frac{1}{2 \cdot 0 + x}$

Paso 6.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{x} \cdot \frac{1}{2 \cdot 0 + x}$

Paso 6.3

Simplifica el denominador.

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Paso 6.3.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$- \frac{2}{x} \cdot \frac{1}{0 + x}$

Paso 6.3.2

Suma $0$ y $x$ .

$- \frac{2}{x} \cdot \frac{1}{x}$

Paso 6.4

Multiplica $- \frac{2}{x} \cdot \frac{1}{x}$ .

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Paso 6.4.1

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $\frac{2}{x}$ .

$- \frac{2}{x \cdot x}$

Paso 6.4.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{2}{x^{1} x}$

Paso 6.4.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{2}{x^{1} x^{1}}$

Paso 6.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{2}{x^{1 + 1}}$

Paso 6.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$- \frac{2}{x^{2}}$