Cálculo Ejemplos

$lim_{h \to 0} \frac{{(h - 2)}^{2} - 4}{h}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{h \to 0} {(h - 2)}^{2} - 4}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} {(h - 2)}^{2} - lim_{h \to 0} 4}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.1.2

Mueve el exponente $2$ de ${(h - 2)}^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{{(lim_{h \to 0} h - 2)}^{2} - lim_{h \to 0} 4}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.1.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$\frac{{(lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} 2)}^{2} - lim_{h \to 0} 4}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.1.4

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$\frac{{(lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 2)}^{2} - lim_{h \to 0} 4}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.1.5

Evalúa el límite de $4$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$\frac{{(lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 2)}^{2} - 1 \cdot 4}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.2

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$\frac{{(0 - 1 \cdot 2)}^{2} - 1 \cdot 4}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.3.1.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{{(0 - 2)}^{2} - 1 \cdot 4}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.3.1.2

Resta $2$ de $0$ .

$\frac{{(- 2)}^{2} - 1 \cdot 4}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.3.1.3

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{4 - 1 \cdot 4}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.3.1.4

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{4 - 4}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.3.2

Resta $4$ de $4$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{h \to 0} \frac{{(h - 2)}^{2} - 4}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(h - 2)}^{2} - 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(h - 2)}^{2} - 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.2

Reescribe ${(h - 2)}^{2}$ como $(h - 2) (h - 2)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [(h - 2) (h - 2) - 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.3

Expande $(h - 2) (h - 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [h (h - 2) - 2 (h - 2) - 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [h \cdot h + h \cdot - 2 - 2 (h - 2) - 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [h \cdot h + h \cdot - 2 - 2 h - 2 \cdot - 2 - 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.3.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.4.1.1

Multiplica $h$ por $h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [h^{2} + h \cdot - 2 - 2 h - 2 \cdot - 2 - 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.4.1.2

Mueve $- 2$ a la izquierda de $h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [h^{2} - 2 \cdot h - 2 h - 2 \cdot - 2 - 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.4.1.3

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [h^{2} - 2 h - 2 h + 4 - 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.4.2

Resta $2 h$ de $- 2 h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [h^{2} - 4 h + 4 - 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.5

Según la regla de la suma, la derivada de $h^{2} - 4 h + 4 - 4$ con respecto a $h$ es $\frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 4 h] + \frac{d}{d h} [4] + \frac{d}{d h} [- 4]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 4 h] + \frac{d}{d h} [4] + \frac{d}{d h} [- 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ es $n h^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 h + \frac{d}{d h} [- 4 h] + \frac{d}{d h} [4] + \frac{d}{d h} [- 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.7

Evalúa $\frac{d}{d h} [- 4 h]$ .

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Paso 1.3.7.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $h$ , la derivada de $- 4 h$ con respecto a $h$ es $- 4 \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 h - 4 \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [4] + \frac{d}{d h} [- 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.7.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ es $n h^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 h - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d h} [4] + \frac{d}{d h} [- 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.7.3

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 h - 4 + \frac{d}{d h} [4] + \frac{d}{d h} [- 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.8

Como $4$ es constante con respecto a $h$ , la derivada de $4$ con respecto a $h$ es $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 h - 4 + 0 + \frac{d}{d h} [- 4]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.9

Como $- 4$ es constante con respecto a $h$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $h$ es $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 h - 4 + 0 + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.10

Combina los términos.

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Paso 1.3.10.1

Suma $2 h - 4$ y $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 h - 4 + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.10.2

Suma $2 h - 4$ y $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 h - 4}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ es $n h^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 h - 4}{1}$

Paso 1.4

Divide $2 h - 4$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} 2 h - 4$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$lim_{h \to 0} 2 h - lim_{h \to 0} 4$

Paso 2.2

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$2 lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} 4$

Paso 2.3

Evalúa el límite de $4$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$2 lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 4$

Paso 3

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$2 \cdot 0 - 1 \cdot 4$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$0 - 1 \cdot 4$

Paso 4.1.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$0 - 4$

Paso 4.2

Resta $4$ de $0$ .

$- 4$