Cálculo Ejemplos

$lim_{h \to 0} \frac{5 {(a - h)}^{2} - 5 a^{2}}{h}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{h \to 0} 5 {(a - h)}^{2} - 5 a^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} 5 {(a - h)}^{2} - lim_{h \to 0} 5 a^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.2

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$\frac{5 lim_{h \to 0} {(a - h)}^{2} - lim_{h \to 0} 5 a^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.3

Mueve el exponente $2$ de ${(a - h)}^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{5 {(lim_{h \to 0} a - h)}^{2} - lim_{h \to 0} 5 a^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$\frac{5 {(lim_{h \to 0} a - lim_{h \to 0} h)}^{2} - lim_{h \to 0} 5 a^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.5

Evalúa el límite de $a$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$\frac{5 {(a - lim_{h \to 0} h)}^{2} - lim_{h \to 0} 5 a^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.6

Evalúa el límite de $5 a^{2}$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$\frac{5 {(a - lim_{h \to 0} h)}^{2} - 5 a^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.7

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 1.1.2.7.1

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$\frac{5 {(a + 0)}^{2} - 5 a^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.7.2

Combina los términos opuestos en $5 {(a + 0)}^{2} - 5 a^{2}$ .

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Paso 1.1.2.7.2.1

Suma $a$ y $0$ .

$\frac{5 a^{2} - 5 a^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.7.2.2

Resta $5 a^{2}$ de $5 a^{2}$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{h \to 0} \frac{5 {(a - h)}^{2} - 5 a^{2}}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 {(a - h)}^{2} - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 {(a - h)}^{2} - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.2

Reescribe ${(a - h)}^{2}$ como $(a - h) (a - h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 ((a - h) (a - h)) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.3

Expande $(a - h) (a - h)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a (a - h) - h (a - h)) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a \cdot a + a (- h) - h (a - h)) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a \cdot a + a (- h) - h a - h (- h)) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.3.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.4.1.1

Multiplica $a$ por $a$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a^{2} + a (- h) - h a - h (- h)) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.4.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a^{2} - a h - h a - h (- h)) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.4.1.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a^{2} - a h - h a - 1 \cdot - 1 h \cdot h) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.4.1.4

Multiplica $h$ por $h$ sumando los exponentes.

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Paso 1.3.4.1.4.1

Mueve $h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a^{2} - a h - h a - 1 \cdot - 1 (h \cdot h)) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.4.1.4.2

Multiplica $h$ por $h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a^{2} - a h - h a - 1 \cdot - 1 h^{2}) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.4.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a^{2} - a h - h a + 1 h^{2}) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.4.1.6

Multiplica $h^{2}$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a^{2} - a h - h a + h^{2}) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.4.2

Resta $h a$ de $- a h$ .

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Paso 1.3.4.2.1

Mueve $h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a^{2} - a h - 1 a h + h^{2}) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.4.2.2

Resta $a h$ de $- a h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a^{2} - 2 a h + h^{2}) - 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.5

Según la regla de la suma, la derivada de $5 (a^{2} - 2 a h + h^{2}) - 5 a^{2}$ con respecto a $h$ es $\frac{d}{d h} [5 (a^{2} - 2 a h + h^{2})] + \frac{d}{d h} [- 5 a^{2}]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [5 (a^{2} - 2 a h + h^{2})] + \frac{d}{d h} [- 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.6

Evalúa $\frac{d}{d h} [5 (a^{2} - 2 a h + h^{2})]$ .

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Paso 1.3.6.1

Como $5$ es constante con respecto a $h$ , la derivada de $5 (a^{2} - 2 a h + h^{2})$ con respecto a $h$ es $5 \frac{d}{d h} [a^{2} - 2 a h + h^{2}]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{5 \frac{d}{d h} [a^{2} - 2 a h + h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.6.2

Según la regla de la suma, la derivada de $a^{2} - 2 a h + h^{2}$ con respecto a $h$ es $\frac{d}{d h} [a^{2}] + \frac{d}{d h} [- 2 a h] + \frac{d}{d h} [h^{2}]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{5 (\frac{d}{d h} [a^{2}] + \frac{d}{d h} [- 2 a h] + \frac{d}{d h} [h^{2}]) + \frac{d}{d h} [- 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.6.3

Como $a^{2}$ es constante con respecto a $h$ , la derivada de $a^{2}$ con respecto a $h$ es $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{5 (0 + \frac{d}{d h} [- 2 a h] + \frac{d}{d h} [h^{2}]) + \frac{d}{d h} [- 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.6.4

Como $- 2 a$ es constante con respecto a $h$ , la derivada de $- 2 a h$ con respecto a $h$ es $- 2 a \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{5 (0 - 2 a \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [h^{2}]) + \frac{d}{d h} [- 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.6.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ es $n h^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{5 (0 - 2 a \cdot 1 + \frac{d}{d h} [h^{2}]) + \frac{d}{d h} [- 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.6.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ es $n h^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{5 (0 - 2 a \cdot 1 + 2 h) + \frac{d}{d h} [- 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.6.7

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{5 (0 - 2 a + 2 h) + \frac{d}{d h} [- 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.6.8

Resta $2 a$ de $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{5 (- 2 a + 2 h) + \frac{d}{d h} [- 5 a^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.7

Como $- 5 a^{2}$ es constante con respecto a $h$ , la derivada de $- 5 a^{2}$ con respecto a $h$ es $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{5 (- 2 a + 2 h) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.8

Simplifica.

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Paso 1.3.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{h \to 0} \frac{5 (- 2 a) + 5 (2 h) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.8.2

Combina los términos.

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Paso 1.3.8.2.1

Multiplica $- 2$ por $5$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- 10 a + 5 (2 h) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.8.2.2

Multiplica $2$ por $5$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- 10 a + 10 h + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.8.2.3

Suma $- 10 a + 10 h$ y $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- 10 a + 10 h}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ es $n h^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- 10 a + 10 h}{1}$

Paso 1.4

Divide $- 10 a + 10 h$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} - 10 a + 10 h$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$- lim_{h \to 0} 10 a + lim_{h \to 0} 10 h$

Paso 2.2

Evalúa el límite de $10 a$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$- 10 a + lim_{h \to 0} 10 h$

Paso 2.3

Mueve el término $10$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$- 10 a + 10 lim_{h \to 0} h$

Paso 3

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$- 10 a + 10 \cdot 0$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Multiplica $10$ por $0$ .

$- 10 a + 0$

Paso 4.2

Suma $- 10 a$ y $0$ .

$- 10 a$