Cálculo Ejemplos

$lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} \sin (\frac{1}{x + h}) - x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

Paso 1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} \sin (\frac{1}{x + h}) - lim_{h \to 0} x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

Paso 2

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} \cdot lim_{h \to 0} \sin (\frac{1}{x + h}) - lim_{h \to 0} x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

Paso 3

Mueve el exponente $2$ de ${(x + h)}^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

${(lim_{h \to 0} x + h)}^{2} \cdot lim_{h \to 0} \sin (\frac{1}{x + h}) - lim_{h \to 0} x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

Paso 4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

${(lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot lim_{h \to 0} \sin (\frac{1}{x + h}) - lim_{h \to 0} x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

Paso 5

Evalúa el límite de $x$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

${(x + lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot lim_{h \to 0} \sin (\frac{1}{x + h}) - lim_{h \to 0} x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

Paso 6

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

${(x + lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot \sin (lim_{h \to 0} \frac{1}{x + h}) - lim_{h \to 0} x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

Paso 7

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

${(x + lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot \sin (\frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} x + h}) - lim_{h \to 0} x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

Paso 8

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

${(x + lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot \sin (\frac{1}{lim_{h \to 0} x + h}) - lim_{h \to 0} x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

Paso 9

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

${(x + lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot \sin (\frac{1}{lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h}) - lim_{h \to 0} x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

Paso 10

Evalúa el límite de $x$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

${(x + lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot \sin (\frac{1}{x + lim_{h \to 0} h}) - lim_{h \to 0} x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

Paso 11

Evalúa el límite de $x^{2} \sin (\frac{1}{x})$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

${(x + lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot \sin (\frac{1}{x + lim_{h \to 0} h}) - x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

Paso 12

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $h$ .

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Paso 12.1

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

${(x + 0)}^{2} \cdot \sin (\frac{1}{x + lim_{h \to 0} h}) - x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

Paso 12.2

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

${(x + 0)}^{2} \cdot \sin (\frac{1}{x + 0}) - x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

Paso 13

Simplifica la respuesta.

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Paso 13.1

Combina los términos opuestos en ${(x + 0)}^{2} \cdot \sin (\frac{1}{x + 0}) - x^{2} \sin (\frac{1}{x})$ .

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Paso 13.1.1

Suma $x$ y $0$ .

$x^{2} \cdot \sin (\frac{1}{x + 0}) - x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

Paso 13.1.2

Suma $x$ y $0$ .

$x^{2} \cdot \sin (\frac{1}{x}) - x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

Paso 13.2

Resta $x^{2} \sin (\frac{1}{x})$ de $x^{2} \sin (\frac{1}{x})$ .

$0$