Cálculo Ejemplos

$lim_{h \to 0} \frac{{(2 + h)}^{- 3} - 2^{- 3}}{h}$

Paso 1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1

Simplifica el argumento de límite.

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Paso 1.1.1

Convierte exponentes negativos en fracciones.

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Paso 1.1.1.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{{(2 + h)}^{3}} - 2^{- 3}}{h}$

Paso 1.1.1.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{{(2 + h)}^{3}} - \frac{1}{2^{3}}}{h}$

Paso 1.1.2

Combina los términos.

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Paso 1.1.2.1

Para escribir $\frac{1}{{(2 + h)}^{3}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2^{3}}{2^{3}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{{(2 + h)}^{3}} \cdot \frac{2^{3}}{2^{3}} - \frac{1}{2^{3}}}{h}$

Paso 1.1.2.2

Para escribir $- \frac{1}{2^{3}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{{(2 + h)}^{3}}{{(2 + h)}^{3}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{{(2 + h)}^{3}} \cdot \frac{2^{3}}{2^{3}} - \frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{{(2 + h)}^{3}}{{(2 + h)}^{3}}}{h}$

Paso 1.1.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de ${(2 + h)}^{3} \cdot 2^{3}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 1.1.2.3.1

Multiplica $\frac{1}{{(2 + h)}^{3}}$ por $\frac{2^{3}}{2^{3}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2^{3}}{{(2 + h)}^{3} \cdot 2^{3}} - \frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{{(2 + h)}^{3}}{{(2 + h)}^{3}}}{h}$

Paso 1.1.2.3.2

Multiplica $\frac{1}{2^{3}}$ por $\frac{{(2 + h)}^{3}}{{(2 + h)}^{3}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2^{3}}{{(2 + h)}^{3} \cdot 2^{3}} - \frac{{(2 + h)}^{3}}{2^{3} {(2 + h)}^{3}}}{h}$

Paso 1.1.2.3.3

Reordena los factores de ${(2 + h)}^{3} \cdot 2^{3}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2^{3}}{2^{3} {(2 + h)}^{3}} - \frac{{(2 + h)}^{3}}{2^{3} {(2 + h)}^{3}}}{h}$

Paso 1.1.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2^{3} - {(2 + h)}^{3}}{2^{3} {(2 + h)}^{3}}}{h}$

Paso 1.2

Simplifica el argumento de límite.

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Paso 1.2.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{h \to 0} \frac{2^{3} - {(2 + h)}^{3}}{2^{3} {(2 + h)}^{3}} \cdot \frac{1}{h}$

Paso 1.2.2

Multiplica $\frac{2^{3} - {(2 + h)}^{3}}{2^{3} {(2 + h)}^{3}}$ por $\frac{1}{h}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2^{3} - {(2 + h)}^{3}}{2^{3} {(2 + h)}^{3} h}$

Paso 1.3

Mueve el término $\frac{1}{2^{3}}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{2^{3} - {(2 + h)}^{3}}{{(2 + h)}^{3} h}$

Paso 2

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 2.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 2.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 2^{3} - {(2 + h)}^{3}}{lim_{h \to 0} {(2 + h)}^{3} h}$

Paso 2.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 2.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 2.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 2^{3} - lim_{h \to 0} {(2 + h)}^{3}}{lim_{h \to 0} {(2 + h)}^{3} h}$

Paso 2.1.2.1.2

Evalúa el límite de $2^{3}$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{2^{3} - lim_{h \to 0} {(2 + h)}^{3}}{lim_{h \to 0} {(2 + h)}^{3} h}$

Paso 2.1.2.1.3

Mueve el exponente $3$ de ${(2 + h)}^{3}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{2^{3} - {(lim_{h \to 0} 2 + h)}^{3}}{lim_{h \to 0} {(2 + h)}^{3} h}$

Paso 2.1.2.1.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{2^{3} - {(lim_{h \to 0} 2 + lim_{h \to 0} h)}^{3}}{lim_{h \to 0} {(2 + h)}^{3} h}$

Paso 2.1.2.1.5

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{2^{3} - {(2 + lim_{h \to 0} h)}^{3}}{lim_{h \to 0} {(2 + h)}^{3} h}$

Paso 2.1.2.2

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{2^{3} - {(2 + 0)}^{3}}{lim_{h \to 0} {(2 + h)}^{3} h}$

Paso 2.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.3.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{8 - {(2 + 0)}^{3}}{lim_{h \to 0} {(2 + h)}^{3} h}$

Paso 2.1.2.3.1.2

Suma $2$ y $0$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{8 - 2^{3}}{lim_{h \to 0} {(2 + h)}^{3} h}$

Paso 2.1.2.3.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{8 - 1 \cdot 8}{lim_{h \to 0} {(2 + h)}^{3} h}$

Paso 2.1.2.3.1.4

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{8 - 8}{lim_{h \to 0} {(2 + h)}^{3} h}$

Paso 2.1.2.3.2

Resta $8$ de $8$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{0}{lim_{h \to 0} {(2 + h)}^{3} h}$

Paso 2.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 2.1.3.1

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{0}{lim_{h \to 0} {(2 + h)}^{3} \cdot lim_{h \to 0} h}$

Paso 2.1.3.2

Mueve el exponente $3$ de ${(2 + h)}^{3}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{0}{{(lim_{h \to 0} 2 + h)}^{3} \cdot lim_{h \to 0} h}$

Paso 2.1.3.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{0}{{(lim_{h \to 0} 2 + lim_{h \to 0} h)}^{3} \cdot lim_{h \to 0} h}$

Paso 2.1.3.4

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{0}{{(2 + lim_{h \to 0} h)}^{3} \cdot lim_{h \to 0} h}$

Paso 2.1.3.5

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $h$ .

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Paso 2.1.3.5.1

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{0}{{(2 + 0)}^{3} \cdot lim_{h \to 0} h}$

Paso 2.1.3.5.2

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{0}{{(2 + 0)}^{3} \cdot 0}$

Paso 2.1.3.6

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.1.3.6.1

Suma $2$ y $0$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{0}{2^{3} \cdot 0}$

Paso 2.1.3.6.2

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{0}{8 \cdot 0}$

Paso 2.1.3.6.3

Multiplica $8$ por $0$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 2.1.3.6.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 2.1.3.7

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 2.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 2.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{h \to 0} \frac{2^{3} - {(2 + h)}^{3}}{{(2 + h)}^{3} h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2^{3} - {(2 + h)}^{3}]}{\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3} h]}$

Paso 2.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 2.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2^{3} - {(2 + h)}^{3}]}{\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3} h]}$

Paso 2.3.2

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [8 - {(2 + h)}^{3}]}{\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3} h]}$

Paso 2.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $8 - {(2 + h)}^{3}$ con respecto a $h$ es $\frac{d}{d h} [8] + \frac{d}{d h} [- {(2 + h)}^{3}]$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [8] + \frac{d}{d h} [- {(2 + h)}^{3}]}{\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3} h]}$

Paso 2.3.4

Como $8$ es constante con respecto a $h$ , la derivada de $8$ con respecto a $h$ es $0$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d h} [- {(2 + h)}^{3}]}{\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3} h]}$

Paso 2.3.5

Evalúa $\frac{d}{d h} [- {(2 + h)}^{3}]$ .

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Paso 2.3.5.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $h$ , la derivada de $- {(2 + h)}^{3}$ con respecto a $h$ es $- \frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3}]$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3}]}{\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3} h]}$

Paso 2.3.5.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ es $f' (g (h)) g' (h)$ donde $f (h) = h^{3}$ y $g (h) = 2 + h$ .

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Paso 2.3.5.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 + h$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d h} [2 + h]}{\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3} h]}$

Paso 2.3.5.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{0 - 1 \cdot 3 u^{2} \frac{d}{d h} [2 + h]}{\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3} h]}$

Paso 2.3.5.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 + h$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{0 - 1 \cdot 3 {(2 + h)}^{2} \frac{d}{d h} [2 + h]}{\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3} h]}$

Paso 2.3.5.3

Según la regla de la suma, la derivada de $2 + h$ con respecto a $h$ es $\frac{d}{d h} [2] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{0 - 1 \cdot 3 {(2 + h)}^{2} (\frac{d}{d h} [2] + \frac{d}{d h} [h])}{\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3} h]}$

Paso 2.3.5.4

Como $2$ es constante con respecto a $h$ , la derivada de $2$ con respecto a $h$ es $0$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{0 - 1 \cdot 3 {(2 + h)}^{2} (0 + \frac{d}{d h} [h])}{\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3} h]}$

Paso 2.3.5.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ es $n h^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{0 - 1 \cdot 3 {(2 + h)}^{2} (0 + 1)}{\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3} h]}$

Paso 2.3.5.6

Suma $0$ y $1$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{0 - 1 \cdot 3 {(2 + h)}^{2} \cdot 1}{\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3} h]}$

Paso 2.3.5.7

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{0 - 1 \cdot 3 {(2 + h)}^{2}}{\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3} h]}$

Paso 2.3.5.8

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{0 - 3 {(2 + h)}^{2}}{\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3} h]}$

Paso 2.3.6

Resta $3 {(2 + h)}^{2}$ de $0$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{\frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3} h]}$

Paso 2.3.7

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d h} [f (h) g (h)]$ es $f (h) \frac{d}{d h} [g (h)] + g (h) \frac{d}{d h} [f (h)]$ donde $f (h) = {(2 + h)}^{3}$ y $g (h) = h$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{{(2 + h)}^{3} \frac{d}{d h} [h] + h \frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3}]}$

Paso 2.3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ es $n h^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{{(2 + h)}^{3} \cdot 1 + h \frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3}]}$

Paso 2.3.9

Multiplica ${(2 + h)}^{3}$ por $1$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{{(2 + h)}^{3} + h \frac{d}{d h} [{(2 + h)}^{3}]}$

Paso 2.3.10

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ es $f' (g (h)) g' (h)$ donde $f (h) = h^{3}$ y $g (h) = 2 + h$ .

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Paso 2.3.10.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 + h$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{{(2 + h)}^{3} + h \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d h} [2 + h]}$

Paso 2.3.10.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{{(2 + h)}^{3} + h \cdot 3 u^{2} \frac{d}{d h} [2 + h]}$

Paso 2.3.10.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 + h$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{{(2 + h)}^{3} + h \cdot 3 {(2 + h)}^{2} \frac{d}{d h} [2 + h]}$

Paso 2.3.11

Según la regla de la suma, la derivada de $2 + h$ con respecto a $h$ es $\frac{d}{d h} [2] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{{(2 + h)}^{3} + h \cdot 3 {(2 + h)}^{2} (\frac{d}{d h} [2] + \frac{d}{d h} [h])}$

Paso 2.3.12

Como $2$ es constante con respecto a $h$ , la derivada de $2$ con respecto a $h$ es $0$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{{(2 + h)}^{3} + h \cdot 3 {(2 + h)}^{2} (0 + \frac{d}{d h} [h])}$

Paso 2.3.13

Suma $0$ y $\frac{d}{d h} [h]$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{{(2 + h)}^{3} + h \cdot 3 {(2 + h)}^{2} \frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.14

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ es $n h^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{{(2 + h)}^{3} + h \cdot 3 {(2 + h)}^{2} \cdot 1}$

Paso 2.3.15

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{{(2 + h)}^{3} + h \cdot 3 {(2 + h)}^{2}}$

Paso 2.3.16

Simplifica.

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Paso 2.3.16.1

Factoriza ${(2 + h)}^{2}$ de ${(2 + h)}^{3} + h (3 {(2 + h)}^{2})$ .

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Paso 2.3.16.1.1

Factoriza ${(2 + h)}^{2}$ de ${(2 + h)}^{3}$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{{(2 + h)}^{2} (2 + h) + h \cdot 3 {(2 + h)}^{2}}$

Paso 2.3.16.1.2

Factoriza ${(2 + h)}^{2}$ de $h (3 {(2 + h)}^{2})$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{{(2 + h)}^{2} (2 + h) + {(2 + h)}^{2} h \cdot 3}$

Paso 2.3.16.1.3

Factoriza ${(2 + h)}^{2}$ de ${(2 + h)}^{2} (2 + h) + {(2 + h)}^{2} (h \cdot (3))$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{{(2 + h)}^{2} (2 + h + h \cdot (3))}$

Paso 2.3.16.2

Combina los términos.

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Paso 2.3.16.2.1

Mueve $3$ a la izquierda de $h$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{{(2 + h)}^{2} (2 + h + 3 \cdot h)}$

Paso 2.3.16.2.2

Suma $h$ y $3 h$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{{(2 + h)}^{2} (2 + 4 h)}$

Paso 2.3.16.3

Reescribe ${(2 + h)}^{2}$ como $(2 + h) (2 + h)$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{(2 + h) (2 + h) (2 + 4 h)}$

Paso 2.3.16.4

Expande $(2 + h) (2 + h)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.3.16.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{(2 (2 + h) + h (2 + h)) (2 + 4 h)}$

Paso 2.3.16.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{(2 \cdot 2 + 2 h + h (2 + h)) (2 + 4 h)}$

Paso 2.3.16.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{(2 \cdot 2 + 2 h + h \cdot 2 + h \cdot h) (2 + 4 h)}$

Paso 2.3.16.5

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.3.16.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.16.5.1.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{(4 + 2 h + h \cdot 2 + h \cdot h) (2 + 4 h)}$

Paso 2.3.16.5.1.2

Mueve $2$ a la izquierda de $h$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{(4 + 2 h + 2 \cdot h + h \cdot h) (2 + 4 h)}$

Paso 2.3.16.5.1.3

Multiplica $h$ por $h$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{(4 + 2 h + 2 h + h^{2}) (2 + 4 h)}$

Paso 2.3.16.5.2

Suma $2 h$ y $2 h$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{(4 + 4 h + h^{2}) (2 + 4 h)}$

Paso 2.3.16.6

Expande $(4 + 4 h + h^{2}) (2 + 4 h)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{4 \cdot 2 + 4 \cdot 4 h + 4 h \cdot 2 + 4 h \cdot 4 h + h^{2} \cdot 2 + h^{2} \cdot 4 h}$

Paso 2.3.16.7

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.16.7.1

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{8 + 4 \cdot 4 h + 4 h \cdot 2 + 4 h \cdot 4 h + h^{2} \cdot 2 + h^{2} \cdot 4 h}$

Paso 2.3.16.7.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{8 + 16 h + 4 h \cdot 2 + 4 h \cdot 4 h + h^{2} \cdot 2 + h^{2} \cdot 4 h}$

Paso 2.3.16.7.3

Multiplica $2$ por $4$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{8 + 16 h + 8 h + 4 h \cdot 4 h + h^{2} \cdot 2 + h^{2} \cdot 4 h}$

Paso 2.3.16.7.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{8 + 16 h + 8 h + 4 \cdot 4 h \cdot h + h^{2} \cdot 2 + h^{2} \cdot 4 h}$

Paso 2.3.16.7.5

Multiplica $h$ por $h$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{8 + 16 h + 8 h + 4 \cdot 4 h^{2} + h^{2} \cdot 2 + h^{2} \cdot 4 h}$

Paso 2.3.16.7.6

Multiplica $4$ por $4$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{8 + 16 h + 8 h + 16 h^{2} + h^{2} \cdot 2 + h^{2} \cdot 4 h}$

Paso 2.3.16.7.7

Mueve $2$ a la izquierda de $h^{2}$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{8 + 16 h + 8 h + 16 h^{2} + 2 \cdot h^{2} + h^{2} \cdot 4 h}$

Paso 2.3.16.7.8

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{8 + 16 h + 8 h + 16 h^{2} + 2 h^{2} + 4 h^{2} h}$

Paso 2.3.16.7.9

Multiplica $h^{2}$ por $h$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.16.7.9.1

Mueve $h$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{8 + 16 h + 8 h + 16 h^{2} + 2 h^{2} + 4 h \cdot h^{2}}$

Paso 2.3.16.7.9.2

Multiplica $h$ por $h^{2}$ .

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Paso 2.3.16.7.9.2.1

Eleva $h$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{8 + 16 h + 8 h + 16 h^{2} + 2 h^{2} + 4 h^{1} h^{2}}$

Paso 2.3.16.7.9.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{8 + 16 h + 8 h + 16 h^{2} + 2 h^{2} + 4 h^{1 + 2}}$

Paso 2.3.16.7.9.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{8 + 16 h + 8 h + 16 h^{2} + 2 h^{2} + 4 h^{3}}$

Paso 2.3.16.8

Suma $16 h$ y $8 h$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{8 + 24 h + 16 h^{2} + 2 h^{2} + 4 h^{3}}$

Paso 2.3.16.9

Suma $16 h^{2}$ y $2 h^{2}$ .

$\frac{1}{2^{3}} lim_{h \to 0} \frac{- 3 {(2 + h)}^{2}}{8 + 24 h + 18 h^{2} + 4 h^{3}}$

Paso 3

Evalúa el límite.

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Paso 3.1

Mueve el término $- 3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot - 3 lim_{h \to 0} \frac{{(2 + h)}^{2}}{8 + 24 h + 18 h^{2} + 4 h^{3}}$

Paso 3.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot - 3 \frac{lim_{h \to 0} {(2 + h)}^{2}}{lim_{h \to 0} 8 + 24 h + 18 h^{2} + 4 h^{3}}$

Paso 3.3

Mueve el exponente $2$ de ${(2 + h)}^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{1}{2^{3}} \cdot - 3 \frac{{(lim_{h \to 0} 2 + h)}^{2}}{lim_{h \to 0} 8 + 24 h + 18 h^{2} + 4 h^{3}}$

Paso 3.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot - 3 \frac{{(lim_{h \to 0} 2 + lim_{h \to 0} h)}^{2}}{lim_{h \to 0} 8 + 24 h + 18 h^{2} + 4 h^{3}}$

Paso 3.5

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot - 3 \frac{{(2 + lim_{h \to 0} h)}^{2}}{lim_{h \to 0} 8 + 24 h + 18 h^{2} + 4 h^{3}}$

Paso 3.6

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot - 3 \frac{{(2 + lim_{h \to 0} h)}^{2}}{lim_{h \to 0} 8 + lim_{h \to 0} 24 h + lim_{h \to 0} 18 h^{2} + lim_{h \to 0} 4 h^{3}}$

Paso 3.7

Evalúa el límite de $8$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot - 3 \frac{{(2 + lim_{h \to 0} h)}^{2}}{8 + lim_{h \to 0} 24 h + lim_{h \to 0} 18 h^{2} + lim_{h \to 0} 4 h^{3}}$

Paso 3.8

Mueve el término $24$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot - 3 \frac{{(2 + lim_{h \to 0} h)}^{2}}{8 + 24 lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 18 h^{2} + lim_{h \to 0} 4 h^{3}}$

Paso 3.9

Mueve el término $18$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot - 3 \frac{{(2 + lim_{h \to 0} h)}^{2}}{8 + 24 lim_{h \to 0} h + 18 lim_{h \to 0} h^{2} + lim_{h \to 0} 4 h^{3}}$

Paso 3.10

Mueve el exponente $2$ de $h^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{1}{2^{3}} \cdot - 3 \frac{{(2 + lim_{h \to 0} h)}^{2}}{8 + 24 lim_{h \to 0} h + 18 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + lim_{h \to 0} 4 h^{3}}$

Paso 3.11

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot - 3 \frac{{(2 + lim_{h \to 0} h)}^{2}}{8 + 24 lim_{h \to 0} h + 18 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 4 lim_{h \to 0} h^{3}}$

Paso 3.12

Mueve el exponente $3$ de $h^{3}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{1}{2^{3}} \cdot - 3 \frac{{(2 + lim_{h \to 0} h)}^{2}}{8 + 24 lim_{h \to 0} h + 18 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 4 {(lim_{h \to 0} h)}^{3}}$

Paso 4

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $h$ .

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Paso 4.1

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot - 3 \frac{{(2 + 0)}^{2}}{8 + 24 lim_{h \to 0} h + 18 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 4 {(lim_{h \to 0} h)}^{3}}$

Paso 4.2

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot - 3 \frac{{(2 + 0)}^{2}}{8 + 24 \cdot 0 + 18 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 4 {(lim_{h \to 0} h)}^{3}}$

Paso 4.3

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot - 3 \frac{{(2 + 0)}^{2}}{8 + 24 \cdot 0 + 18 \cdot 0^{2} + 4 {(lim_{h \to 0} h)}^{3}}$

Paso 4.4

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$\frac{1}{2^{3}} \cdot - 3 \frac{{(2 + 0)}^{2}}{8 + 24 \cdot 0 + 18 \cdot 0^{2} + 4 \cdot 0^{3}}$

Paso 5

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$\frac{1}{8} \cdot - 3 \frac{{(2 + 0)}^{2}}{8 + 24 \cdot 0 + 18 \cdot 0^{2} + 4 \cdot 0^{3}}$

Paso 5.2

Combina $\frac{1}{8}$ y $- 3$ .

$\frac{- 3}{8} \cdot \frac{{(2 + 0)}^{2}}{8 + 24 \cdot 0 + 18 \cdot 0^{2} + 4 \cdot 0^{3}}$

Paso 5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3}{8} \cdot \frac{{(2 + 0)}^{2}}{8 + 24 \cdot 0 + 18 \cdot 0^{2} + 4 \cdot 0^{3}}$

Paso 5.4

Simplifica el numerador.

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Paso 5.4.1

Suma $2$ y $0$ .

$- \frac{3}{8} \cdot \frac{2^{2}}{8 + 24 \cdot 0 + 18 \cdot 0^{2} + 4 \cdot 0^{3}}$

Paso 5.4.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{3}{8} \cdot \frac{4}{8 + 24 \cdot 0 + 18 \cdot 0^{2} + 4 \cdot 0^{3}}$

Paso 5.5

Simplifica el denominador.

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Paso 5.5.1

Multiplica $24$ por $0$ .

$- \frac{3}{8} \cdot \frac{4}{8 + 0 + 18 \cdot 0^{2} + 4 \cdot 0^{3}}$

Paso 5.5.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- \frac{3}{8} \cdot \frac{4}{8 + 0 + 18 \cdot 0 + 4 \cdot 0^{3}}$

Paso 5.5.3

Multiplica $18$ por $0$ .

$- \frac{3}{8} \cdot \frac{4}{8 + 0 + 0 + 4 \cdot 0^{3}}$

Paso 5.5.4

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- \frac{3}{8} \cdot \frac{4}{8 + 0 + 0 + 4 \cdot 0}$

Paso 5.5.5

Multiplica $4$ por $0$ .

$- \frac{3}{8} \cdot \frac{4}{8 + 0 + 0 + 0}$

Paso 5.5.6

Suma $8 + 0 + 0$ y $0$ .

$- \frac{3}{8} \cdot \frac{4}{8 + 0 + 0}$

Paso 5.5.7

Suma $8 + 0$ y $0$ .

$- \frac{3}{8} \cdot \frac{4}{8 + 0}$

Paso 5.5.8

Suma $8$ y $0$ .

$- \frac{3}{8} \cdot \frac{4}{8}$

Paso 5.6

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.6.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{3}{8}$ al numerador.

$\frac{- 3}{8} \cdot \frac{4}{8}$

Paso 5.6.2

Factoriza $4$ de $8$ .

$\frac{- 3}{4 (2)} \cdot \frac{4}{8}$

Paso 5.6.3

Cancela el factor común.

$\frac{- 3}{4 \cdot 2} \cdot \frac{4}{8}$

Paso 5.6.4

Reescribe la expresión.

$\frac{- 3}{2} \cdot \frac{1}{8}$

Paso 5.7

Multiplica $\frac{- 3}{2}$ por $\frac{1}{8}$ .

$\frac{- 3}{2 \cdot 8}$

Paso 5.8

Multiplica $2$ por $8$ .

$\frac{- 3}{16}$

Paso 5.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3}{16}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{3}{16}$

Forma decimal:

$- 0.1875$