Cálculo Ejemplos

$lim_{h \to 0} \frac{\ln (2 + h) - \ln (2)}{h}$

Paso 1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\ln (\frac{2 + h}{2})}{h}$

Paso 2

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 2.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 2.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{h \to 0} \ln (\frac{2 + h}{2})}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 2.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 2.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 2.1.2.1.1

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$\frac{\ln (lim_{h \to 0} \frac{2 + h}{2})}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 2.1.2.1.2

Mueve el término $\frac{1}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$\frac{\ln (\frac{1}{2} lim_{h \to 0} 2 + h)}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 2.1.2.1.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$\frac{\ln (\frac{1}{2} (lim_{h \to 0} 2 + lim_{h \to 0} h))}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 2.1.2.1.4

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$\frac{\ln (\frac{1}{2} (2 + lim_{h \to 0} h))}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 2.1.2.2

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$\frac{\ln (\frac{1}{2} (2 + 0))}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 2.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.1.2.3.1

Suma $2$ y $0$ .

$\frac{\ln (\frac{1}{2} \cdot 2)}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 2.1.2.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.2.3.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{\ln (\frac{1}{2} \cdot 2)}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 2.1.2.3.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\ln (1)}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 2.1.2.3.3

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 2.1.3

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 2.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{h \to 0} \frac{\ln (\frac{2 + h}{2})}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\ln (\frac{2 + h}{2})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 2.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\ln (\frac{2 + h}{2})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ es $f' (g (h)) g' (h)$ donde $f (h) = \ln (h)$ y $g (h) = \frac{2 + h}{2}$ .

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Paso 2.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{2 + h}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d h} [\frac{2 + h}{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d h} [\frac{2 + h}{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{2 + h}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{\frac{2 + h}{2}} \frac{d}{d h} [\frac{2 + h}{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.3

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{2 + h}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{1 \frac{2}{2 + h} \frac{d}{d h} [\frac{2 + h}{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.4

Multiplica $\frac{2}{2 + h}$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{2 + h} \frac{d}{d h} [\frac{2 + h}{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.5

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $h$ , la derivada de $\frac{2 + h}{2}$ con respecto a $h$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d h} [2 + h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{2 + h} (\frac{1}{2} \frac{d}{d h} [2 + h])}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.6

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{2}{2 + h}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{2 (2 + h)} \frac{d}{d h} [2 + h]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.7

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.7.1

Cancela el factor común.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{2 (2 + h)} \frac{d}{d h} [2 + h]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.7.2

Reescribe la expresión.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2 + h} \frac{d}{d h} [2 + h]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.8

Según la regla de la suma, la derivada de $2 + h$ con respecto a $h$ es $\frac{d}{d h} [2] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2 + h} (\frac{d}{d h} [2] + \frac{d}{d h} [h])}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.9

Como $2$ es constante con respecto a $h$ , la derivada de $2$ con respecto a $h$ es $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2 + h} (0 + \frac{d}{d h} [h])}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.10

Suma $0$ y $\frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2 + h} \frac{d}{d h} [h]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ es $n h^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2 + h} \cdot 1}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.12

Multiplica $\frac{1}{2 + h}$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2 + h}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.13

Reordena los términos.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{h + 2}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 2.3.14

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ es $n h^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{h + 2}}{1}$

Paso 2.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{h \to 0} \frac{1}{h + 2} \cdot 1$

Paso 2.5

Multiplica $\frac{1}{h + 2}$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{1}{h + 2}$

Paso 3

Evalúa el límite.

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Paso 3.1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} h + 2}$

Paso 3.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{lim_{h \to 0} h + 2}$

Paso 3.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 2}$

Paso 3.4

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{lim_{h \to 0} h + 2}$

Paso 4

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$\frac{1}{0 + 2}$

Paso 5

Suma $0$ y $2$ .

$\frac{1}{2}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1}{2}$

Forma decimal:

$0.5$