Cálculo Ejemplos

$lim_{h \to 0} \frac{1 - \cos (2 h)}{h}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{h \to 0} 1 - \cos (2 h)}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} 1 - lim_{h \to 0} \cos (2 h)}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.1.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$\frac{1 - lim_{h \to 0} \cos (2 h)}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.1.3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{1 - \cos (lim_{h \to 0} 2 h)}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.1.4

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$\frac{1 - \cos (2 lim_{h \to 0} h)}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.2

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$\frac{1 - \cos (2 \cdot 0)}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.3.1.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{1 - \cos (0)}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.3.1.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{h \to 0} \frac{1 - \cos (2 h)}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [1 - \cos (2 h)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [1 - \cos (2 h)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - \cos (2 h)$ con respecto a $h$ es $\frac{d}{d h} [1] + \frac{d}{d h} [- \cos (2 h)]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [1] + \frac{d}{d h} [- \cos (2 h)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.3

Como $1$ es constante con respecto a $h$ , la derivada de $1$ con respecto a $h$ es $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d h} [- \cos (2 h)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.4

Evalúa $\frac{d}{d h} [- \cos (2 h)]$ .

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Paso 1.3.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $h$ , la derivada de $- \cos (2 h)$ con respecto a $h$ es $- \frac{d}{d h} [\cos (2 h)]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d h} [\cos (2 h)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ es $f' (g (h)) g' (h)$ donde $f (h) = \cos (h)$ y $g (h) = 2 h$ .

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Paso 1.3.4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d h} [2 h])}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.4.2.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (- \sin (u) \frac{d}{d h} [2 h])}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (- \sin (2 h) \frac{d}{d h} [2 h])}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.4.3

Como $2$ es constante con respecto a $h$ , la derivada de $2 h$ con respecto a $h$ es $2 \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (- \sin (2 h) (2 \frac{d}{d h} [h]))}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ es $n h^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (- \sin (2 h) (2 \cdot 1))}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.4.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (- \sin (2 h) \cdot 2)}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.4.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - (- 2 \sin (2 h))}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.4.7

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + 2 \sin (2 h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.5

Suma $0$ y $2 \sin (2 h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 \sin (2 h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ es $n h^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 \sin (2 h)}{1}$

Paso 1.4

Divide $2 \sin (2 h)$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} 2 \sin (2 h)$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$2 lim_{h \to 0} \sin (2 h)$

Paso 2.2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$2 \sin (lim_{h \to 0} 2 h)$

Paso 2.3

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$2 \sin (2 lim_{h \to 0} h)$

Paso 3

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$2 \sin (2 \cdot 0)$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$2 \sin (0)$

Paso 4.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$2 \cdot 0$

Paso 4.3

Multiplica $2$ por $0$ .

$0$