Cálculo Ejemplos

$lim_{h \to 0} \frac{(\sqrt{9 + h}) - 3}{h}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{h \to 0} (\sqrt{9 + h}) - 3}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} \sqrt{9 + h} - lim_{h \to 0} 3}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.1.2

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{\sqrt{lim_{h \to 0} 9 + h} - lim_{h \to 0} 3}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.1.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{h \to 0} 9 + lim_{h \to 0} h} - lim_{h \to 0} 3}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.1.4

Evalúa el límite de $9$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$\frac{\sqrt{9 + lim_{h \to 0} h} - lim_{h \to 0} 3}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.1.5

Evalúa el límite de $3$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$\frac{\sqrt{9 + lim_{h \to 0} h} - 1 \cdot 3}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.2

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$\frac{\sqrt{9 + 0} - 1 \cdot 3}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.3.1.1

Suma $9$ y $0$ .

$\frac{\sqrt{9} - 1 \cdot 3}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.3.1.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2}} - 1 \cdot 3}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.3.1.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{3 - 1 \cdot 3}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.3.1.4

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{3 - 3}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.3.2

Resta $3$ de $3$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{h \to 0} \frac{(\sqrt{9 + h}) - 3}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [(\sqrt{9 + h}) - 3]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [(\sqrt{9 + h}) - 3]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $(\sqrt{9 + h}) - 3$ con respecto a $h$ es $\frac{d}{d h} [\sqrt{9 + h}] + \frac{d}{d h} [- 3]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sqrt{9 + h}] + \frac{d}{d h} [- 3]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.3

Evalúa $\frac{d}{d h} [\sqrt{9 + h}]$ .

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Paso 1.3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{9 + h}$ como ${(9 + h)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(9 + h)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d h} [- 3]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ es $f' (g (h)) g' (h)$ donde $f (h) = h^{\frac{1}{2}}$ y $g (h) = 9 + h$ .

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Paso 1.3.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $9 + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d h} [9 + h] + \frac{d}{d h} [- 3]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d h} [9 + h] + \frac{d}{d h} [- 3]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $9 + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 + h)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d h} [9 + h] + \frac{d}{d h} [- 3]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $9 + h$ con respecto a $h$ es $\frac{d}{d h} [9] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 + h)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d h} [9] + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- 3]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.3.4

Como $9$ es constante con respecto a $h$ , la derivada de $9$ con respecto a $h$ es $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 + h)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- 3]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ es $n h^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 + h)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 1) + \frac{d}{d h} [- 3]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.3.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 + h)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d h} [- 3]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.3.7

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 + h)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d h} [- 3]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.3.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 + h)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d h} [- 3]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.3.9

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.3.9.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 + h)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d h} [- 3]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.3.9.2

Resta $2$ de $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 + h)}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d h} [- 3]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.3.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 + h)}^{- \frac{1}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d h} [- 3]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.3.11

Suma $0$ y $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 + h)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- 3]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.3.12

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(9 + h)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{{(9 + h)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- 3]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.3.13

Multiplica $\frac{{(9 + h)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{{(9 + h)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d h} [- 3]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.3.14

Mueve ${(9 + h)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(9 + h)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d h} [- 3]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.4

Como $- 3$ es constante con respecto a $h$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $h$ es $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(9 + h)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.5

Suma $\frac{1}{2 {(9 + h)}^{\frac{1}{2}}}$ y $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(9 + h)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ es $n h^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(9 + h)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Paso 1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{h \to 0} \frac{1}{2 {(9 + h)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Paso 1.5

Reescribe ${(9 + h)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{9 + h}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{9 + h}} \cdot 1$

Paso 1.6

Multiplica $\frac{1}{2 \sqrt{9 + h}}$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{9 + h}}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Mueve el término $\frac{1}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$\frac{1}{2} lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{9 + h}}$

Paso 2.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} \sqrt{9 + h}}$

Paso 2.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} \sqrt{9 + h}}$

Paso 2.4

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{h \to 0} 9 + h}}$

Paso 2.5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{h \to 0} 9 + lim_{h \to 0} h}}$

Paso 2.6

Evalúa el límite de $9$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 + lim_{h \to 0} h}}$

Paso 3

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 + 0}}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Simplifica el denominador.

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Paso 4.1.1

Suma $9$ y $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9}}$

Paso 4.1.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3^{2}}}$

Paso 4.1.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Paso 4.2.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 3}$

Paso 4.2.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{1}{6}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1}{6}$

Forma decimal:

$0.1\overline{6}$