Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} - 5 x}{\sin (4 x)}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} x^{2} - 5 x}{lim_{x \to 0} \sin (4 x)}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x^{2} - lim_{x \to 0} 5 x}{lim_{x \to 0} \sin (4 x)}$

Paso 1.1.2.2

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} 5 x}{lim_{x \to 0} \sin (4 x)}$

Paso 1.1.2.3

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 5 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \sin (4 x)}$

Paso 1.1.2.4

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.1.2.4.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0^{2} - 5 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \sin (4 x)}$

Paso 1.1.2.4.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0^{2} - 5 \cdot 0}{lim_{x \to 0} \sin (4 x)}$

Paso 1.1.2.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.5.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{0 - 5 \cdot 0}{lim_{x \to 0} \sin (4 x)}$

Paso 1.1.2.5.1.2

Multiplica $- 5$ por $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} \sin (4 x)}$

Paso 1.1.2.5.2

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (4 x)}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.3.1.1

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} 4 x)}$

Paso 1.1.3.1.2

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{\sin (4 lim_{x \to 0} x)}$

Paso 1.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{\sin (4 \cdot 0)}$

Paso 1.1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.3.3.1

Multiplica $4$ por $0$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

Paso 1.1.3.3.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} - 5 x}{\sin (4 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 5 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}$

Paso 1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 5 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}$

Paso 1.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

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Paso 1.3.4.1

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 x$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x - 5 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}$

Paso 1.3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x - 5 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}$

Paso 1.3.4.3

Multiplica $- 5$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x - 5}{\frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}$

Paso 1.3.5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 4 x$ .

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Paso 1.3.5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $4 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x - 5}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [4 x]}$

Paso 1.3.5.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x - 5}{\cos (u) \frac{d}{d x} [4 x]}$

Paso 1.3.5.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x - 5}{\cos (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]}$

Paso 1.3.6

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x - 5}{\cos (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])}$

Paso 1.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x - 5}{\cos (4 x) (4 \cdot 1)}$

Paso 1.3.8

Multiplica $4$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x - 5}{\cos (4 x) \cdot 4}$

Paso 1.3.9

Mueve $4$ a la izquierda de $\cos (4 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x - 5}{4 \cos (4 x)}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Mueve el término $\frac{1}{4}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{2 x - 5}{\cos (4 x)}$

Paso 2.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 2 x - 5}{lim_{x \to 0} \cos (4 x)}$

Paso 2.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 2 x - lim_{x \to 0} 5}{lim_{x \to 0} \cos (4 x)}$

Paso 2.4

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 5}{lim_{x \to 0} \cos (4 x)}$

Paso 2.5

Evalúa el límite de $5$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 0} \cos (4 x)}$

Paso 2.6

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 5}{\cos (lim_{x \to 0} 4 x)}$

Paso 2.7

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 5}{\cos (4 lim_{x \to 0} x)}$

Paso 3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 3.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 5}{\cos (4 lim_{x \to 0} x)}$

Paso 3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 5}{\cos (4 \cdot 0)}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0 - 1 \cdot 5}{\cos (4 \cdot 0)}$

Paso 4.1.2

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0 - 5}{\cos (4 \cdot 0)}$

Paso 4.1.3

Resta $5$ de $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{- 5}{\cos (4 \cdot 0)}$

Paso 4.2

Simplifica el denominador.

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Paso 4.2.1

Multiplica $4$ por $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{- 5}{\cos (0)}$

Paso 4.2.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{- 5}{1}$

Paso 4.3

Divide $- 5$ por $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot - 5$

Paso 4.4

Combina $\frac{1}{4}$ y $- 5$ .

$\frac{- 5}{4}$

Paso 4.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{5}{4}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{5}{4}$

Forma decimal:

$- 1.25$