Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} {(1 + \frac{1}{x})}^{x}$

Paso 1

Combina los términos.

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Paso 1.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$lim_{x \to \infty} {(\frac{x}{x} + \frac{1}{x})}^{x}$

Paso 1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to \infty} {(\frac{x + 1}{x})}^{x}$

Paso 2

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar el límite.

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Paso 2.1

Reescribe ${(\frac{x + 1}{x})}^{x}$ como $e^{\ln ({(\frac{x + 1}{x})}^{x})}$ .

$lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(\frac{x + 1}{x})}^{x})}$

Paso 2.2

Expande $\ln ({(\frac{x + 1}{x})}^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$lim_{x \to \infty} e^{x \ln (\frac{x + 1}{x})}$

Paso 3

Mueve el límite dentro del exponente.

$e^{lim_{x \to \infty} x \ln (\frac{x + 1}{x})}$

Paso 4

Reescribe $x \ln (\frac{x + 1}{x})$ como $\frac{\ln (\frac{x + 1}{x})}{\frac{1}{x}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\frac{x + 1}{x})}{\frac{1}{x}}}$

Paso 5

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 5.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 5.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$e^{\frac{lim_{x \to \infty} \ln (\frac{x + 1}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Paso 5.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 5.1.2.1

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{x + 1}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Paso 5.1.2.2

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $x$ .

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Paso 5.1.2.3

Evalúa el límite.

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Paso 5.1.2.3.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.1.2.3.1.1

Cancela el factor común.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Paso 5.1.2.3.1.2

Reescribe la expresión.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Paso 5.1.2.3.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.1.2.3.2.1

Cancela el factor común.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Paso 5.1.2.3.2.2

Reescribe la expresión.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Paso 5.1.2.3.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Paso 5.1.2.3.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Paso 5.1.2.3.5

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Paso 5.1.2.4

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1 + 0}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Paso 5.1.2.5

Evalúa el límite.

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Paso 5.1.2.5.1

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1 + 0}{1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Paso 5.1.2.5.2

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1.2.5.2.1

Divide $1 + 0$ por $1$ .

$e^{\frac{\ln (1 + 0)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Paso 5.1.2.5.2.2

Suma $1$ y $0$ .

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Paso 5.1.2.5.2.3

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Paso 5.1.3

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$e^{\frac{0}{0}}$

Paso 5.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$e^{\frac{0}{0}}$

Paso 5.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\frac{x + 1}{x})}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x + 1}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 5.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 5.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x + 1}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \frac{x + 1}{x}$ .

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Paso 5.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{x + 1}{x}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{x + 1}{x}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{\frac{x + 1}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.3

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{x + 1}{x}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1 \frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.4

Multiplica $\frac{x}{x + 1}$ por $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.5

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x + 1$ y $g (x) = x$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.6

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.8

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.9

Suma $1$ y $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.10

Multiplica $x$ por $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x - (x + 1) \cdot 1}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.12

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x - (x + 1)}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.13

Multiplica $\frac{x}{x + 1}$ por $\frac{x - (x + 1)}{x^{2}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x (x - (x + 1))}{(x + 1) x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.14

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.14.1

Factoriza $x$ de $(x + 1) x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x (x - (x + 1))}{x (x + 1) x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.14.2

Cancela el factor común.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x (x - (x + 1))}{x (x + 1) x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.14.3

Reescribe la expresión.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - (x + 1)}{(x + 1) x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.15

Simplifica.

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Paso 5.3.15.1

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - x - 1 \cdot 1}{(x + 1) x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.15.2

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - x - 1 \cdot 1}{x \cdot x + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.15.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.15.3.1

Resta $x$ de $x$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{0 - 1 \cdot 1}{x \cdot x + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.15.3.2

Resta $1 \cdot 1$ de $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 1 \cdot 1}{x \cdot x + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.15.3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 1}{x \cdot x + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.15.4

Combina los términos.

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Paso 5.3.15.4.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 1}{x^{1} x + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.15.4.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 1}{x^{1} x^{1} + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.15.4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 1}{x^{1 + 1} + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.15.4.4

Suma $1$ y $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 1}{x^{2} + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.15.4.5

Multiplica $x$ por $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 1}{x^{2} + x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.15.4.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x^{2} + x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.15.5

Factoriza $x$ de $x^{2} + x$ .

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Paso 5.3.15.5.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x \cdot x + x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.15.5.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x \cdot x + x^{1}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.15.5.3

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x \cdot x + x \cdot 1}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.15.5.4

Factoriza $x$ de $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x (x + 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Paso 5.3.16

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x (x + 1)}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}}$

Paso 5.3.17

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x (x + 1)}}{- x^{- 2}}}$

Paso 5.3.18

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x (x + 1)}}{- \frac{1}{x^{2}}}}$

Paso 5.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$e^{lim_{x \to \infty} - \frac{1}{x (x + 1)} \cdot - 1 x^{2}}$

Paso 5.5

Combina factores.

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Paso 5.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} 1 \frac{1}{x (x + 1)} x^{2}}$

Paso 5.5.2

Multiplica $\frac{1}{x (x + 1)}$ por $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x (x + 1)} x^{2}}$

Paso 5.5.3

Combina $\frac{1}{x (x + 1)}$ y $x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{x (x + 1)}}$

Paso 5.6

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

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Paso 5.6.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{x \cdot x}{x (x + 1)}}$

Paso 5.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.6.2.1

Cancela el factor común.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{x \cdot x}{x (x + 1)}}$

Paso 5.6.2.2

Reescribe la expresión.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{x}{x + 1}}$

Paso 6

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $x$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}}$

Paso 7

Evalúa el límite.

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Paso 7.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 7.1.1

Cancela el factor común.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}}$

Paso 7.1.2

Reescribe la expresión.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}}$

Paso 7.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}}$

Paso 7.2.2

Reescribe la expresión.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{x}}}$

Paso 7.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$e^{\frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x}}}$

Paso 7.4

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$e^{\frac{1}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x}}}$

Paso 7.5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$e^{\frac{1}{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Paso 7.6

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$e^{\frac{1}{1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Paso 8

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$e^{\frac{1}{1 + 0}}$

Paso 9

Simplifica la respuesta.

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Paso 9.1

Suma $1$ y $0$ .

$e^{\frac{1}{1}}$

Paso 9.2

Divide $1$ por $1$ .

$e^{1}$

Paso 10

Simplifica.

$e$

Paso 11

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$e$

Forma decimal:

$2.71828182 \dots$