Cálculo Ejemplos

$lim_{k \to 8} {(1 - \frac{1}{k})}^{k}$

Paso 1

Combina los términos.

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Paso 1.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$lim_{k \to 8} {(\frac{k}{k} - \frac{1}{k})}^{k}$

Paso 1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{k \to 8} {(\frac{k - 1}{k})}^{k}$

Paso 2

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar el límite.

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Paso 2.1

Reescribe ${(\frac{k - 1}{k})}^{k}$ como $e^{\ln ({(\frac{k - 1}{k})}^{k})}$ .

$lim_{k \to 8} e^{\ln ({(\frac{k - 1}{k})}^{k})}$

Paso 2.2

Expande $\ln ({(\frac{k - 1}{k})}^{k})$ ; para ello, mueve $k$ fuera del logaritmo.

$lim_{k \to 8} e^{k \ln (\frac{k - 1}{k})}$

Paso 3

Evalúa el límite.

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Paso 3.1

Mueve el límite dentro del exponente.

$e^{lim_{k \to 8} k \ln (\frac{k - 1}{k})}$

Paso 3.2

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $k$ se aproxima a $8$ .

$e^{lim_{k \to 8} k \cdot lim_{k \to 8} \ln (\frac{k - 1}{k})}$

Paso 3.3

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (lim_{k \to 8} \frac{k - 1}{k})}$

Paso 3.4

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $k$ se aproxima a $8$ .

$e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (\frac{lim_{k \to 8} k - 1}{lim_{k \to 8} k})}$

Paso 3.5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $k$ se aproxima a $8$ .

$e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (\frac{lim_{k \to 8} k - lim_{k \to 8} 1}{lim_{k \to 8} k})}$

Paso 3.6

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $k$ se acerca a $8$ .

$e^{lim_{k \to 8} k \cdot \ln (\frac{lim_{k \to 8} k - 1 \cdot 1}{lim_{k \to 8} k})}$

Paso 4

Evalúa los límites mediante el ingreso de $8$ para todos los casos de $k$ .

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Paso 4.1

Evalúa el límite de $k$ mediante el ingreso de $8$ para $k$ .

$e^{8 \cdot \ln (\frac{lim_{k \to 8} k - 1 \cdot 1}{lim_{k \to 8} k})}$

Paso 4.2

Evalúa el límite de $k$ mediante el ingreso de $8$ para $k$ .

$e^{8 \cdot \ln (\frac{8 - 1 \cdot 1}{lim_{k \to 8} k})}$

Paso 4.3

Evalúa el límite de $k$ mediante el ingreso de $8$ para $k$ .

$e^{8 \cdot \ln (\frac{8 - 1 \cdot 1}{8})}$

Paso 5

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1

Simplifica $8 \cdot \ln (\frac{8 - 1 \cdot 1}{8})$ al mover $8$ dentro del algoritmo.

$e^{\ln ({(\frac{8 - 1 \cdot 1}{8})}^{8})}$

Paso 5.2

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

${(\frac{8 - 1 \cdot 1}{8})}^{8}$

Paso 5.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

${(\frac{8 - 1}{8})}^{8}$

Paso 5.3.2

Resta $1$ de $8$ .

${(\frac{7}{8})}^{8}$

Paso 5.4

Aplica la regla del producto a $\frac{7}{8}$ .

$\frac{7^{8}}{8^{8}}$

Paso 5.5

Eleva $7$ a la potencia de $8$ .

$\frac{5764801}{8^{8}}$

Paso 5.6

Eleva $8$ a la potencia de $8$ .

$\frac{5764801}{16777216}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{5764801}{16777216}$

Forma decimal:

$0.34360891 \dots$