Cálculo Ejemplos

$lim_{n \to 8} \frac{n}{n^{3} + 6 n^{2} - 12 n - 8 i}$

Paso 1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $n$ se aproxima a $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} n}{lim_{n \to 8} n^{3} + 6 n^{2} - 12 n - 8 i}$

Paso 2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $n$ se aproxima a $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} n}{lim_{n \to 8} n^{3} + lim_{n \to 8} 6 n^{2} - lim_{n \to 8} 12 n - lim_{n \to 8} 8 i}$

Paso 3

Mueve el exponente $3$ de $n^{3}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n)}^{3} + lim_{n \to 8} 6 n^{2} - lim_{n \to 8} 12 n - lim_{n \to 8} 8 i}$

Paso 4

Mueve el término $6$ fuera del límite porque es constante con respecto a $n$ .

$\frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n)}^{3} + 6 lim_{n \to 8} n^{2} - lim_{n \to 8} 12 n - lim_{n \to 8} 8 i}$

Paso 5

Mueve el exponente $2$ de $n^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n)}^{3} + 6 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} - lim_{n \to 8} 12 n - lim_{n \to 8} 8 i}$

Paso 6

Mueve el término $12$ fuera del límite porque es constante con respecto a $n$ .

$\frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n)}^{3} + 6 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} - 12 lim_{n \to 8} n - lim_{n \to 8} 8 i}$

Paso 7

Evalúa el límite de $8 i$ que es constante cuando $n$ se acerca a $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} n}{{(lim_{n \to 8} n)}^{3} + 6 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} - 12 lim_{n \to 8} n - 8 i}$

Paso 8

Evalúa los límites mediante el ingreso de $8$ para todos los casos de $n$ .

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Paso 8.1

Evalúa el límite de $n$ mediante el ingreso de $8$ para $n$ .

$\frac{8}{{(lim_{n \to 8} n)}^{3} + 6 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} - 12 lim_{n \to 8} n - 8 i}$

Paso 8.2

Evalúa el límite de $n$ mediante el ingreso de $8$ para $n$ .

$\frac{8}{8^{3} + 6 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} - 12 lim_{n \to 8} n - 8 i}$

Paso 8.3

Evalúa el límite de $n$ mediante el ingreso de $8$ para $n$ .

$\frac{8}{8^{3} + 6 \cdot 8^{2} - 12 lim_{n \to 8} n - 8 i}$

Paso 8.4

Evalúa el límite de $n$ mediante el ingreso de $8$ para $n$ .

$\frac{8}{8^{3} + 6 \cdot 8^{2} - 12 \cdot 8 - 8 i}$

Paso 9

Simplifica la respuesta.

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Paso 9.1

Cancela el factor común de $8$ y $8^{3} + 6 \cdot 8^{2} - 12 \cdot 8 - 8 i$ .

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Paso 9.1.1

Factoriza $8$ de $8$ .

$\frac{8 (1)}{8^{3} + 6 \cdot 8^{2} - 12 \cdot 8 - 8 i}$

Paso 9.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.1.2.1

Factoriza $8$ de $8^{3}$ .

$\frac{8 (1)}{8 \cdot 8^{2} + 6 \cdot 8^{2} - 12 \cdot 8 - 8 i}$

Paso 9.1.2.2

Factoriza $8$ de $6 \cdot 8^{2}$ .

$\frac{8 (1)}{8 \cdot 8^{2} + 8 (6 \cdot 8) - 12 \cdot 8 - 8 i}$

Paso 9.1.2.3

Factoriza $8$ de $8 \cdot 8^{2} + 8 (6 \cdot 8)$ .

$\frac{8 (1)}{8 \cdot (8^{2} + 6 \cdot 8) - 12 \cdot 8 - 8 i}$

Paso 9.1.2.4

Factoriza $8$ de $- 12 \cdot 8$ .

$\frac{8 (1)}{8 \cdot (8^{2} + 6 \cdot 8) + 8 \cdot - 12 - 8 i}$

Paso 9.1.2.5

Factoriza $8$ de $8 \cdot (8^{2} + 6 \cdot 8) + 8 \cdot - 12$ .

$\frac{8 (1)}{8 \cdot (8^{2} + 6 \cdot 8 - 12) - 8 i}$

Paso 9.1.2.6

Factoriza $8$ de $- 8 i$ .

$\frac{8 (1)}{8 \cdot (8^{2} + 6 \cdot 8 - 12) + 8 (- i)}$

Paso 9.1.2.7

Factoriza $8$ de $8 \cdot (8^{2} + 6 \cdot 8 - 12) + 8 (- i)$ .

$\frac{8 (1)}{8 \cdot (8^{2} + 6 \cdot 8 - 12 - i)}$

Paso 9.1.2.8

Cancela el factor común.

$\frac{8 \cdot 1}{8 \cdot (8^{2} + 6 \cdot 8 - 12 - i)}$

Paso 9.1.2.9

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{8^{2} + 6 \cdot 8 - 12 - i}$

Paso 9.2

Multiplica el numerador y el denominador de $\frac{1}{100 - i}$ por el conjugado de $100 - i$ para hacer real el denominador.

$\frac{1}{100 - i} \cdot \frac{100 + i}{100 + i}$

Paso 9.3

Multiplica.

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Paso 9.3.1

Combinar.

$\frac{1 (100 + i)}{(100 - i) (100 + i)}$

Paso 9.3.2

Multiplica $100 + i$ por $1$ .

$\frac{100 + i}{(100 - i) (100 + i)}$

Paso 9.3.3

Simplifica el denominador.

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Paso 9.3.3.1

Expande $(100 - i) (100 + i)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 9.3.3.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{100 + i}{100 (100 + i) - i (100 + i)}$

Paso 9.3.3.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{100 + i}{100 \cdot 100 + 100 i - i (100 + i)}$

Paso 9.3.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{100 + i}{100 \cdot 100 + 100 i - i \cdot 100 - i i}$

Paso 9.3.3.2

Simplifica.

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Paso 9.3.3.2.1

Multiplica $100$ por $100$ .

$\frac{100 + i}{10000 + 100 i - i \cdot 100 - i i}$

Paso 9.3.3.2.2

Multiplica $100$ por $- 1$ .

$\frac{100 + i}{10000 + 100 i - 100 i - i i}$

Paso 9.3.3.2.3

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{100 + i}{10000 + 100 i - 100 i - (i^{1} i)}$

Paso 9.3.3.2.4

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{100 + i}{10000 + 100 i - 100 i - (i^{1} i^{1})}$

Paso 9.3.3.2.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{100 + i}{10000 + 100 i - 100 i - i^{1 + 1}}$

Paso 9.3.3.2.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{100 + i}{10000 + 100 i - 100 i - i^{2}}$

Paso 9.3.3.2.7

Resta $100 i$ de $100 i$ .

$\frac{100 + i}{10000 + 0 - i^{2}}$

Paso 9.3.3.2.8

Suma $10000$ y $0$ .

$\frac{100 + i}{10000 - i^{2}}$

Paso 9.3.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 9.3.3.3.1

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$\frac{100 + i}{10000 - - 1}$

Paso 9.3.3.3.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{100 + i}{10000 + 1}$

Paso 9.3.3.4

Suma $10000$ y $1$ .

$\frac{100 + i}{10001}$

Paso 9.4

Divide la fracción $\frac{100 + i}{10001}$ en dos fracciones.

$\frac{100}{10001} + \frac{i}{10001}$