Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sin (x)}{x}$

Paso 1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\frac{π}{4}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x}$

Paso 2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x}$

Paso 3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $\frac{π}{4}$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 3.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{π}{4}$ para $x$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x}$

Paso 3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{π}{4}$ para $x$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{4})}{\frac{π}{4}}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\sin (\frac{π}{4}) \frac{4}{π}$

Paso 4.2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{4}{π}$

Paso 4.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2 (2)}{π}$

Paso 4.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2 \cdot 2}{π}$

Paso 4.3.3

Reescribe la expresión.

$\sqrt{2} \frac{2}{π}$

Paso 4.4

Combina $\sqrt{2}$ y $\frac{2}{π}$ .

$\frac{\sqrt{2} \cdot 2}{π}$

Paso 4.5

Mueve $2$ a la izquierda de $\sqrt{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{π}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{2 \sqrt{2}}{π}$

Forma decimal:

$0.90031631 \dots$