Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \frac{π}{2}} (\cos (π \sin (x))) + \sin (π \cos (x))$

Paso 1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\frac{π}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (π \sin (x)) + lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (π \cos (x))$

Paso 2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} π \sin (x)) + lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (π \cos (x))$

Paso 3

Mueve el término $π$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\cos (π lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x)) + lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (π \cos (x))$

Paso 4

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\cos (π \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)) + lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (π \cos (x))$

Paso 5

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\cos (π \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} π \cos (x))$

Paso 6

Mueve el término $π$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\cos (π \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)) + \sin (π lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x))$

Paso 7

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\cos (π \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)) + \sin (π \cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x))$

Paso 8

Evalúa los límites mediante el ingreso de $\frac{π}{2}$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 8.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{π}{2}$ para $x$ .

$\cos (π \sin (\frac{π}{2})) + \sin (π \cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x))$

Paso 8.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{π}{2}$ para $x$ .

$\cos (π \sin (\frac{π}{2})) + \sin (π \cos (\frac{π}{2}))$

Paso 9

Simplifica la respuesta.

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Paso 9.1

Simplifica cada término.

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Paso 9.1.1

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$\cos (π \cdot 1) + \sin (π \cos (\frac{π}{2}))$

Paso 9.1.2

Multiplica $π$ por $1$ .

$\cos (π) + \sin (π \cos (\frac{π}{2}))$

Paso 9.1.3

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.

$- \cos (0) + \sin (π \cos (\frac{π}{2}))$

Paso 9.1.4

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$- 1 \cdot 1 + \sin (π \cos (\frac{π}{2}))$

Paso 9.1.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1 + \sin (π \cos (\frac{π}{2}))$

Paso 9.1.6

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{2})$ es $0$ .

$- 1 + \sin (π \cdot 0)$

Paso 9.1.7

Multiplica $π$ por $0$ .

$- 1 + \sin (0)$

Paso 9.1.8

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$- 1 + 0$

Paso 9.2

Suma $- 1$ y $0$ .

$- 1$