Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x)}{x - \frac{π}{2}}$

Paso 1

Combina los términos.

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Paso 1.1

Para escribir $x$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x)}{x \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}}$

Paso 1.2

Combina $x$ y $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x)}{\frac{x \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}}$

Paso 1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x)}{\frac{x \cdot 2 - π}{2}}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Simplifica el argumento de límite.

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Paso 2.1.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x) \frac{2}{x \cdot 2 - π}$

Paso 2.1.2

Combina $\cos (x)$ y $\frac{2}{x \cdot 2 - π}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x) \cdot 2}{x \cdot 2 - π}$

Paso 2.2

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x)}{x \cdot 2 - π}$

Paso 3

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 3.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 3.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$2 \frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x \cdot 2 - π}$

Paso 3.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 3.1.2.1

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$2 \frac{\cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x \cdot 2 - π}$

Paso 3.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{π}{2}$ para $x$ .

$2 \frac{\cos (\frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x \cdot 2 - π}$

Paso 3.1.2.3

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{2})$ es $0$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x \cdot 2 - π}$

Paso 3.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 3.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 3.1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\frac{π}{2}$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x \cdot 2 - lim_{x \to \frac{π}{2}} π}$

Paso 3.1.3.1.2

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$2 \frac{0}{2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x - lim_{x \to \frac{π}{2}} π}$

Paso 3.1.3.1.3

Evalúa el límite de $π$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\frac{π}{2}$ .

$2 \frac{0}{2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x - π}$

Paso 3.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{π}{2}$ para $x$ .

$2 \frac{0}{2 \frac{π}{2} - π}$

Paso 3.1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.1.3.3.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.1.3.3.1.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{0}{2 \frac{π}{2} - π}$

Paso 3.1.3.3.1.2

Reescribe la expresión.

$2 \frac{0}{π - π}$

Paso 3.1.3.3.2

Resta $π$ de $π$ .

$2 (\frac{0}{0})$

Paso 3.1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$2 (\frac{0}{0})$

Paso 3.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$2 (\frac{0}{0})$

Paso 3.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$2 (\frac{0}{0})$

Paso 3.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x)}{x \cdot 2 - π} = lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2 - π]}$

Paso 3.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2 - π]}$

Paso 3.3.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2 - π]}$

Paso 3.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x \cdot 2 - π$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x \cdot 2] + \frac{d}{d x} [- π]$ .

$2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2] + \frac{d}{d x} [- π]}$

Paso 3.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [x \cdot 2]$ .

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Paso 3.3.4.1

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (x)}{\frac{d}{d x} [2 \cdot x] + \frac{d}{d x} [- π]}$

Paso 3.3.4.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (x)}{2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π]}$

Paso 3.3.4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (x)}{2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- π]}$

Paso 3.3.4.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (x)}{2 + \frac{d}{d x} [- π]}$

Paso 3.3.5

Como $- π$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- π$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (x)}{2 + 0}$

Paso 3.3.6

Suma $2$ y $0$ .

$2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (x)}{2}$

Paso 4

Evalúa el límite.

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Paso 4.1

Mueve el término $\frac{1}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$2 (\frac{1}{2}) lim_{x \to \frac{π}{2}} - \sin (x)$

Paso 4.2

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$2 (\frac{1}{2}) \cdot - 1 lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x)$

Paso 4.3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$2 (\frac{1}{2}) \cdot - 1 \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)$

Paso 5

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{π}{2}$ para $x$ .

$2 (\frac{1}{2}) \cdot - 1 \sin (\frac{π}{2})$

Paso 6

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.1.1

Cancela el factor común.

$2 (\frac{1}{2}) \cdot - 1 \sin (\frac{π}{2})$

Paso 6.1.2

Reescribe la expresión.

$1 \cdot - 1 \sin (\frac{π}{2})$

Paso 6.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \sin (\frac{π}{2})$

Paso 6.3

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Paso 6.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1$