Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{8 \cos (x)}{\cot (x)}$

Paso 1

Mueve el término $8$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$8 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x)}{\cot (x)}$

Paso 2

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 2.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 2.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$8 \frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (x)}$

Paso 2.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 2.1.2.1

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$8 \frac{\cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (x)}$

Paso 2.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{π}{2}$ para $x$ .

$8 \frac{\cos (\frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (x)}$

Paso 2.1.2.3

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{2})$ es $0$ .

$8 \frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (x)}$

Paso 2.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 2.1.3.1

Move the limit inside the trig function because cotangent is continuous.

$8 \frac{0}{\cot (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

Paso 2.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{π}{2}$ para $x$ .

$8 \frac{0}{\cot (\frac{π}{2})}$

Paso 2.1.3.3

El valor exacto de $\cot (\frac{π}{2})$ es $0$ .

$8 (\frac{0}{0})$

Paso 2.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$8 (\frac{0}{0})$

Paso 2.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$8 (\frac{0}{0})$

Paso 2.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x)}{\cot (x)} = lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}$

Paso 2.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 2.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$8 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}$

Paso 2.3.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$8 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}$

Paso 2.3.3

La derivada de $\cot (x)$ con respecto a $x$ es $- \csc^{2} (x)$ .

$8 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (x)}{- \csc^{2} (x)}$

Paso 2.4

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$8 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (x)}{\csc^{2} (x)}$

Paso 3

Evalúa el límite.

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Paso 3.1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\frac{π}{2}$ .

$8 \frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \csc^{2} (x)}$

Paso 3.2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$8 \frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \csc^{2} (x)}$

Paso 3.3

Mueve el exponente $2$ de $\csc^{2} (x)$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$8 \frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{{(lim_{x \to \frac{π}{2}} \csc (x))}^{2}}$

Paso 3.4

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la cosecante es continua.

$8 \frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{\csc^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

Paso 4

Evalúa los límites mediante el ingreso de $\frac{π}{2}$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 4.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{π}{2}$ para $x$ .

$8 \frac{\sin (\frac{π}{2})}{\csc^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

Paso 4.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{π}{2}$ para $x$ .

$8 \frac{\sin (\frac{π}{2})}{\csc^{2} (\frac{π}{2})}$

Paso 5

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$8 \frac{1}{\csc^{2} (\frac{π}{2})}$

Paso 5.2

Simplifica el denominador.

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Paso 5.2.1

El valor exacto de $\csc (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$8 \frac{1}{1^{2}}$

Paso 5.2.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$8 (\frac{1}{1})$

Paso 5.3

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 5.3.1

Cancela el factor común.

$8 (\frac{1}{1})$

Paso 5.3.2

Reescribe la expresión.

$8 \cdot 1$

Paso 5.4

Multiplica $8$ por $1$ .

$8$