Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{8}{x} - \frac{8}{x^{2} + x}$

Paso 1

Combina los términos.

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Paso 1.1

Para escribir $\frac{8}{x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x^{2} + x}{x^{2} + x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8}{x} \cdot \frac{x^{2} + x}{x^{2} + x} - \frac{8}{x^{2} + x}$

Paso 1.2

Para escribir $- \frac{8}{x^{2} + x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8}{x} \cdot \frac{x^{2} + x}{x^{2} + x} - \frac{8}{x^{2} + x} \cdot \frac{x}{x}$

Paso 1.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $x (x^{2} + x)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 1.3.1

Multiplica $\frac{8}{x}$ por $\frac{x^{2} + x}{x^{2} + x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 (x^{2} + x)}{x (x^{2} + x)} - \frac{8}{x^{2} + x} \cdot \frac{x}{x}$

Paso 1.3.2

Multiplica $\frac{8}{x^{2} + x}$ por $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 (x^{2} + x)}{x (x^{2} + x)} - \frac{8 x}{(x^{2} + x) x}$

Paso 1.3.3

Reordena los factores de $(x^{2} + x) x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 (x^{2} + x)}{x (x^{2} + x)} - \frac{8 x}{x (x^{2} + x)}$

Paso 1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 0} \frac{8 (x^{2} + x) - 8 x}{x (x^{2} + x)}$

Paso 2

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 2.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 2.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} 8 (x^{2} + x) - 8 x}{lim_{x \to 0} x (x^{2} + x)}$

Paso 2.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 2.1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 8 (x^{2} + x) - lim_{x \to 0} 8 x}{lim_{x \to 0} x (x^{2} + x)}$

Paso 2.1.2.2

Mueve el término $8$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{8 lim_{x \to 0} x^{2} + x - lim_{x \to 0} 8 x}{lim_{x \to 0} x (x^{2} + x)}$

Paso 2.1.2.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{8 (lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 8 x}{lim_{x \to 0} x (x^{2} + x)}$

Paso 2.1.2.4

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{8 ({(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 8 x}{lim_{x \to 0} x (x^{2} + x)}$

Paso 2.1.2.5

Mueve el término $8$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{8 ({(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} x) - 8 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x (x^{2} + x)}$

Paso 2.1.2.6

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 2.1.2.6.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{8 (0^{2} + lim_{x \to 0} x) - 8 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x (x^{2} + x)}$

Paso 2.1.2.6.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{8 (0^{2} + 0) - 8 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x (x^{2} + x)}$

Paso 2.1.2.6.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{8 (0^{2} + 0) - 8 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x (x^{2} + x)}$

Paso 2.1.2.7

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.1.2.7.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.7.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{8 (0 + 0) - 8 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x (x^{2} + x)}$

Paso 2.1.2.7.1.2

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{8 \cdot 0 - 8 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x (x^{2} + x)}$

Paso 2.1.2.7.1.3

Multiplica $8$ por $0$ .

$\frac{0 - 8 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x (x^{2} + x)}$

Paso 2.1.2.7.1.4

Multiplica $- 8$ por $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x (x^{2} + x)}$

Paso 2.1.2.7.2

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x (x^{2} + x)}$

Paso 2.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 2.1.3.1

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} x^{2} + x}$

Paso 2.1.3.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot (lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} x)}$

Paso 2.1.3.3

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot ({(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} x)}$

Paso 2.1.3.4

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 2.1.3.4.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot ({(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} x)}$

Paso 2.1.3.4.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot (0^{2} + lim_{x \to 0} x)}$

Paso 2.1.3.4.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot (0^{2} + 0)}$

Paso 2.1.3.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.1.3.5.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot (0 + 0)}$

Paso 2.1.3.5.2

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

Paso 2.1.3.5.3

Multiplica $0$ por $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 2.1.3.5.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2.1.3.6

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{8 (x^{2} + x) - 8 x}{x (x^{2} + x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [8 (x^{2} + x) - 8 x]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} + x)]}$

Paso 2.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 2.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [8 (x^{2} + x) - 8 x]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} + x)]}$

Paso 2.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $8 (x^{2} + x) - 8 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [8 (x^{2} + x)] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [8 (x^{2} + x)] + \frac{d}{d x} [- 8 x]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} + x)]}$

Paso 2.3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [8 (x^{2} + x)]$ .

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Paso 2.3.3.1

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 (x^{2} + x)$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [x^{2} + x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 \frac{d}{d x} [x^{2} + x] + \frac{d}{d x} [- 8 x]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} + x)]}$

Paso 2.3.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 8 x]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} + x)]}$

Paso 2.3.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 (2 x + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 8 x]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} + x)]}$

Paso 2.3.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 (2 x + 1) + \frac{d}{d x} [- 8 x]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} + x)]}$

Paso 2.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

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Paso 2.3.4.1

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8 x$ con respecto a $x$ es $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 (2 x + 1) - 8 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} + x)]}$

Paso 2.3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 (2 x + 1) - 8 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} + x)]}$

Paso 2.3.4.3

Multiplica $- 8$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 (2 x + 1) - 8}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} + x)]}$

Paso 2.3.5

Simplifica.

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Paso 2.3.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{x \to 0} \frac{8 (2 x) + 8 \cdot 1 - 8}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} + x)]}$

Paso 2.3.5.2

Combina los términos.

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Paso 2.3.5.2.1

Multiplica $2$ por $8$ .

$lim_{x \to 0} \frac{16 x + 8 \cdot 1 - 8}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} + x)]}$

Paso 2.3.5.2.2

Multiplica $8$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{16 x + 8 - 8}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} + x)]}$

Paso 2.3.5.2.3

Resta $8$ de $8$ .

$lim_{x \to 0} \frac{16 x + 0}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} + x)]}$

Paso 2.3.5.2.4

Suma $16 x$ y $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{16 x}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} + x)]}$

Paso 2.3.6

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = x^{2} + x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{16 x}{x \frac{d}{d x} [x^{2} + x] + (x^{2} + x) \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.7

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{16 x}{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]) + (x^{2} + x) \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{16 x}{x (2 x + \frac{d}{d x} [x]) + (x^{2} + x) \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{16 x}{x (2 x + 1) + (x^{2} + x) \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{16 x}{x (2 x + 1) + (x^{2} + x) \cdot 1}$

Paso 2.3.11

Multiplica $x^{2} + x$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{16 x}{x (2 x + 1) + x^{2} + x}$

Paso 2.3.12

Simplifica.

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Paso 2.3.12.1

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{x \to 0} \frac{16 x}{x (2 x) + x \cdot 1 + x^{2} + x}$

Paso 2.3.12.2

Combina los términos.

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Paso 2.3.12.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{16 x}{2 (x^{1} x) + x \cdot 1 + x^{2} + x}$

Paso 2.3.12.2.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{16 x}{2 (x^{1} x^{1}) + x \cdot 1 + x^{2} + x}$

Paso 2.3.12.2.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$lim_{x \to 0} \frac{16 x}{2 x^{1 + 1} + x \cdot 1 + x^{2} + x}$

Paso 2.3.12.2.4

Suma $1$ y $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{16 x}{2 x^{2} + x \cdot 1 + x^{2} + x}$

Paso 2.3.12.2.5

Multiplica $x$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{16 x}{2 x^{2} + x + x^{2} + x}$

Paso 2.3.12.2.6

Suma $2 x^{2}$ y $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{16 x}{3 x^{2} + x + x}$

Paso 2.3.12.2.7

Suma $x$ y $x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{16 x}{3 x^{2} + 2 x}$

Paso 3

Mueve el término $16$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$16 lim_{x \to 0} \frac{x}{3 x^{2} + 2 x}$

Paso 4

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 4.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 4.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$16 \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 3 x^{2} + 2 x}$

Paso 4.1.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$16 \frac{0}{lim_{x \to 0} 3 x^{2} + 2 x}$

Paso 4.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 4.1.3.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$16 \frac{0}{lim_{x \to 0} 3 x^{2} + lim_{x \to 0} 2 x}$

Paso 4.1.3.2

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$16 \frac{0}{3 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 2 x}$

Paso 4.1.3.3

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$16 \frac{0}{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 2 x}$

Paso 4.1.3.4

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$16 \frac{0}{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 0} x}$

Paso 4.1.3.5

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 4.1.3.5.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$16 \frac{0}{3 \cdot 0^{2} + 2 lim_{x \to 0} x}$

Paso 4.1.3.5.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$16 \frac{0}{3 \cdot 0^{2} + 2 \cdot 0}$

Paso 4.1.3.6

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1.3.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.3.6.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$16 \frac{0}{3 \cdot 0 + 2 \cdot 0}$

Paso 4.1.3.6.1.2

Multiplica $3$ por $0$ .

$16 \frac{0}{0 + 2 \cdot 0}$

Paso 4.1.3.6.1.3

Multiplica $2$ por $0$ .

$16 \frac{0}{0 + 0}$

Paso 4.1.3.6.2

Suma $0$ y $0$ .

$16 (\frac{0}{0})$

Paso 4.1.3.6.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$16 (\frac{0}{0})$

Paso 4.1.3.7

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$16 (\frac{0}{0})$

Paso 4.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$16 (\frac{0}{0})$

Paso 4.2

$lim_{x \to 0} \frac{x}{3 x^{2} + 2 x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 2 x]}$

Paso 4.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 4.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$16 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 2 x]}$

Paso 4.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$16 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 2 x]}$

Paso 4.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{2} + 2 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$16 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]}$

Paso 4.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Paso 4.3.4.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$16 lim_{x \to 0} \frac{1}{3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]}$

Paso 4.3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$16 lim_{x \to 0} \frac{1}{3 \cdot 2 x + \frac{d}{d x} [2 x]}$

Paso 4.3.4.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$16 lim_{x \to 0} \frac{1}{6 x + \frac{d}{d x} [2 x]}$

Paso 4.3.5

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 4.3.5.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$16 lim_{x \to 0} \frac{1}{6 x + 2 \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 4.3.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$16 lim_{x \to 0} \frac{1}{6 x + 2 \cdot 1}$

Paso 4.3.5.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$16 lim_{x \to 0} \frac{1}{6 x + 2}$

Paso 5

Evalúa el límite.

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Paso 5.1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$16 \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 6 x + 2}$

Paso 5.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$16 \frac{1}{lim_{x \to 0} 6 x + 2}$

Paso 5.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$16 \frac{1}{lim_{x \to 0} 6 x + lim_{x \to 0} 2}$

Paso 5.4

Mueve el término $6$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$16 \frac{1}{6 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 2}$

Paso 5.5

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$16 \frac{1}{6 lim_{x \to 0} x + 2}$

Paso 6

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$16 \frac{1}{6 \cdot 0 + 2}$

Paso 7

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.1

Simplifica el denominador.

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Paso 7.1.1

Multiplica $6$ por $0$ .

$16 \frac{1}{0 + 2}$

Paso 7.1.2

Suma $0$ y $2$ .

$16 (\frac{1}{2})$

Paso 7.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.2.1

Factoriza $2$ de $16$ .

$2 (8) \frac{1}{2}$

Paso 7.2.2

Cancela el factor común.

$2 \cdot 8 \frac{1}{2}$

Paso 7.2.3

Reescribe la expresión.

$8$