Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \frac{x}{4}} \frac{\sin (x + \frac{π}{4}) - 1}{x - \frac{π}{4}}$

Paso 1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\frac{x}{4}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{x}{4}} \sin (x + \frac{π}{4}) - 1}{lim_{x \to \frac{x}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Paso 2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\frac{x}{4}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{x}{4}} \sin (x + \frac{π}{4}) - lim_{x \to \frac{x}{4}} 1}{lim_{x \to \frac{x}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Paso 3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{x}{4}} x + \frac{π}{4}) - lim_{x \to \frac{x}{4}} 1}{lim_{x \to \frac{x}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Paso 4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\frac{x}{4}$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{x}{4}} x + lim_{x \to \frac{x}{4}} \frac{π}{4}) - lim_{x \to \frac{x}{4}} 1}{lim_{x \to \frac{x}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Paso 5

Evalúa el límite de $\frac{π}{4}$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\frac{x}{4}$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{x}{4}} x + \frac{π}{4}) - lim_{x \to \frac{x}{4}} 1}{lim_{x \to \frac{x}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Paso 6

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\frac{x}{4}$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{x}{4}} x + \frac{π}{4}) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{x}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Paso 7

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\frac{x}{4}$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{x}{4}} x + \frac{π}{4}) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{x}{4}} x - lim_{x \to \frac{x}{4}} \frac{π}{4}}$

Paso 8

Evalúa el límite de $\frac{π}{4}$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\frac{x}{4}$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{x}{4}} x + \frac{π}{4}) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{x}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Paso 9

Evalúa los límites mediante el ingreso de $\frac{x}{4}$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 9.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{x}{4}$ para $x$ .

$\frac{\sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{x}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Paso 9.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{x}{4}$ para $x$ .

$\frac{\sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) - 1 \cdot 1}{\frac{x}{4} - \frac{π}{4}}$

Paso 10

Simplifica la respuesta.

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Paso 10.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $4$ .

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Paso 10.1.1

Multiplica $\frac{\sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) - 1 \cdot 1}{\frac{x}{4} - \frac{π}{4}}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4}{4} \cdot \frac{\sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) - 1 \cdot 1}{\frac{x}{4} - \frac{π}{4}}$

Paso 10.1.2

Combinar.

$\frac{4 (\sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) - 1 \cdot 1)}{4 (\frac{x}{4} - \frac{π}{4})}$

Paso 10.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 \sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) + 4 (- 1 \cdot 1)}{4 \frac{x}{4} + 4 (- \frac{π}{4})}$

Paso 10.3

Simplifica mediante la cancelación.

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Paso 10.3.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 10.3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 \sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) + 4 (- 1 \cdot 1)}{4 \frac{x}{4} + 4 (- \frac{π}{4})}$

Paso 10.3.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{4 \sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) + 4 (- 1 \cdot 1)}{x + 4 (- \frac{π}{4})}$

Paso 10.3.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 10.3.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{π}{4}$ al numerador.

$\frac{4 \sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) + 4 (- 1 \cdot 1)}{x + 4 \frac{- π}{4}}$

Paso 10.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{4 \sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) + 4 (- 1 \cdot 1)}{x + 4 \frac{- π}{4}}$

Paso 10.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{4 \sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) + 4 (- 1 \cdot 1)}{x - π}$

Paso 10.4

Simplifica el numerador.

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Paso 10.4.1

Factoriza $4$ de $4 \sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) + 4 (- 1 \cdot 1)$ .

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Paso 10.4.1.1

Factoriza $4$ de $4 \sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4})$ .

$\frac{4 (\sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4})) + 4 (- 1 \cdot 1)}{x - π}$

Paso 10.4.1.2

Factoriza $4$ de $4 (\sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4})) + 4 (- 1 \cdot 1)$ .

$\frac{4 (\sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) - 1 \cdot 1)}{x - π}$

Paso 10.4.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{4 (\sin (\frac{x}{4} + \frac{π}{4}) - 1)}{x - π}$