Cálculo Ejemplos

$lim_{t \to 0} \frac{\sqrt{9 - t} - 3}{t}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{t \to 0} \sqrt{9 - t} - 3}{lim_{t \to 0} t}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $t$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{t \to 0} \sqrt{9 - t} - lim_{t \to 0} 3}{lim_{t \to 0} t}$

Paso 1.1.2.2

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{\sqrt{lim_{t \to 0} 9 - t} - lim_{t \to 0} 3}{lim_{t \to 0} t}$

Paso 1.1.2.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $t$ se aproxima a $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{t \to 0} 9 - lim_{t \to 0} t} - lim_{t \to 0} 3}{lim_{t \to 0} t}$

Paso 1.1.2.4

Evalúa el límite de $9$ que es constante cuando $t$ se acerca a $0$ .

$\frac{\sqrt{9 - lim_{t \to 0} t} - lim_{t \to 0} 3}{lim_{t \to 0} t}$

Paso 1.1.2.5

Evalúa el límite de $3$ que es constante cuando $t$ se acerca a $0$ .

$\frac{\sqrt{9 - lim_{t \to 0} t} - 1 \cdot 3}{lim_{t \to 0} t}$

Paso 1.1.2.6

Simplifica los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.6.1

Evalúa el límite de $t$ mediante el ingreso de $0$ para $t$ .

$\frac{\sqrt{9 + 0} - 1 \cdot 3}{lim_{t \to 0} t}$

Paso 1.1.2.6.2

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.6.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.6.2.1.1

Suma $9$ y $0$ .

$\frac{\sqrt{9} - 1 \cdot 3}{lim_{t \to 0} t}$

Paso 1.1.2.6.2.1.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2}} - 1 \cdot 3}{lim_{t \to 0} t}$

Paso 1.1.2.6.2.1.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{3 - 1 \cdot 3}{lim_{t \to 0} t}$

Paso 1.1.2.6.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{3 - 3}{lim_{t \to 0} t}$

Paso 1.1.2.6.2.2

Resta $3$ de $3$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 0} t}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite de $t$ mediante el ingreso de $0$ para $t$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{t \to 0} \frac{\sqrt{9 - t} - 3}{t} = lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\sqrt{9 - t} - 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\sqrt{9 - t} - 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\sqrt{9 - t} - 3$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [\sqrt{9 - t}] + \frac{d}{d t} [- 3]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\sqrt{9 - t}] + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Paso 1.3.3

Evalúa $\frac{d}{d t} [\sqrt{9 - t}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{9 - t}$ como ${(9 - t)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [{(9 - t)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Paso 1.3.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ y $g (t) = 9 - t$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $9 - t$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [9 - t] + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Paso 1.3.3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [9 - t] + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Paso 1.3.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $9 - t$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - t)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [9 - t] + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Paso 1.3.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $9 - t$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [9] + \frac{d}{d t} [- t]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - t)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d t} [9] + \frac{d}{d t} [- t]) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Paso 1.3.3.4

Como $9$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $9$ con respecto a $t$ es $0$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - t)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d t} [- t]) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Paso 1.3.3.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- t$ con respecto a $t$ es $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - t)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Paso 1.3.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - t)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Paso 1.3.3.7

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - t)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Paso 1.3.3.8

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - t)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Paso 1.3.3.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - t)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Paso 1.3.3.10

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.3.10.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - t)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Paso 1.3.3.10.2

Resta $2$ de $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - t)}^{\frac{- 1}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Paso 1.3.3.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - t)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Paso 1.3.3.12

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - t)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Paso 1.3.3.13

Resta $1$ de $0$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 - t)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1 + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Paso 1.3.3.14

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(9 - t)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{{(9 - t)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot - 1 + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Paso 1.3.3.15

Combina $\frac{{(9 - t)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ y $- 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{{(9 - t)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1}{2} + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Paso 1.3.3.16

Mueve $- 1$ a la izquierda de ${(9 - t)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{- 1 \cdot {(9 - t)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Paso 1.3.3.17

Reescribe $- 1 {(9 - t)}^{- \frac{1}{2}}$ como $- {(9 - t)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{- {(9 - t)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Paso 1.3.3.18

Mueve ${(9 - t)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{- 1}{2 {(9 - t)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Paso 1.3.3.19

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{1}{2 {(9 - t)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t]}$

Paso 1.3.4

Como $- 3$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $t$ es $0$ .

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{1}{2 {(9 - t)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d t} [t]}$

Paso 1.3.5

Suma $- \frac{1}{2 {(9 - t)}^{\frac{1}{2}}}$ y $0$ .

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{1}{2 {(9 - t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [t]}$

Paso 1.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{1}{2 {(9 - t)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Paso 1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{t \to 0} - \frac{1}{2 {(9 - t)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Paso 1.5

Reescribe ${(9 - t)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{9 - t}$ .

$lim_{t \to 0} - \frac{1}{2 \sqrt{9 - t}} \cdot 1$

Paso 1.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$lim_{t \to 0} - \frac{1}{2 \sqrt{9 - t}}$

Paso 2

Evalúa el límite.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $t$ .

$- lim_{t \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{9 - t}}$

Paso 2.2

Mueve el término $\frac{1}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $t$ .

$- \frac{1}{2} lim_{t \to 0} \frac{1}{\sqrt{9 - t}}$

Paso 2.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $t$ se aproxima a $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{t \to 0} 1}{lim_{t \to 0} \sqrt{9 - t}}$

Paso 2.4

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $t$ se acerca a $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{t \to 0} \sqrt{9 - t}}$

Paso 2.5

Mueve el límite debajo del signo radical.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{t \to 0} 9 - t}}$

Paso 2.6

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $t$ se aproxima a $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{t \to 0} 9 - lim_{t \to 0} t}}$

Paso 2.7

Evalúa el límite de $9$ que es constante cuando $t$ se acerca a $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 - lim_{t \to 0} t}}$

Paso 2.8

Simplifica los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.8.1

Evalúa el límite de $t$ mediante el ingreso de $0$ para $t$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 + 0}}$

Paso 2.8.2

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.8.2.1

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.8.2.1.1

Suma $9$ y $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9}}$

Paso 2.8.2.1.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3^{2}}}$

Paso 2.8.2.1.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Paso 2.8.2.2

Multiplica $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.8.2.2.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{3 \cdot 2}$

Paso 2.8.2.2.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$- \frac{1}{6}$

Paso 3

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{1}{6}$

Forma decimal:

$- 0.1\overline{6}$