Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \frac{π}{6}} \frac{\sin (x) - \frac{1}{2}}{x - \frac{π}{6}}$

Paso 1

Combina los términos.

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Paso 1.1

Para escribir $x$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{6}} \frac{\sin (x) - \frac{1}{2}}{x \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}}$

Paso 1.2

Combina $x$ y $\frac{6}{6}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{6}} \frac{\sin (x) - \frac{1}{2}}{\frac{x \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}}$

Paso 1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to \frac{π}{6}} \frac{\sin (x) - \frac{1}{2}}{\frac{x \cdot 6 - π}{6}}$

Paso 2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to \frac{π}{6}} (\sin (x) - \frac{1}{2}) \frac{6}{x \cdot 6 - π}$

Paso 3

Considera el límite izquierdo.

$lim_{x \to {(\frac{π}{6})}^{-}} (\sin (x) - \frac{1}{2}) \frac{6}{x \cdot 6 - π}$

Paso 4

Haz una tabla para mostrar el comportamiento de la función $(\sin (x) - \frac{1}{2}) \frac{6}{x \cdot 6 - π}$ a medida que $x$ se acerca a $\frac{π}{6}$ desde la izquierda.

$\begin{array}{c} x & (\sin (x) - \frac{1}{2}) \frac{6}{x \cdot 6 - π} \\ 0.42359877 & 0.88956192 \\ 0.51359877 & 0.86851094 \\ 0.52259877 & 0.86627525 \\ 0.52349877 & 0.8660504 \end{array}$

Paso 5

A medida que los valores de $x$ se acercan a $\frac{π}{6}$ , los valores de la función se acercan a $0.866$ . Por lo tanto, el límite de $(\sin (x) - \frac{1}{2}) \frac{6}{x \cdot 6 - π}$ a medida que $x$ se acerca a $\frac{π}{6}$ desde la izquierda es $0.866$ .

$0.866$

Paso 6

Considera el límite derecho.

$lim_{x \to {(\frac{π}{6})}^{+}} (\sin (x) - \frac{1}{2}) \frac{6}{x \cdot 6 - π}$

Paso 7

Haz una tabla para mostrar el comportamiento de la función $(\sin (x) - \frac{1}{2}) \frac{6}{x \cdot 6 - π}$ a medida que $x$ se acerca a $\frac{π}{6}$ desde la derecha.

$\begin{array}{c} x & (\sin (x) - \frac{1}{2}) \frac{6}{x \cdot 6 - π} \\ 0.62359877 & 0.83960357 \\ 0.53359877 & 0.86351099 \\ 0.52459877 & 0.86577525 \\ 0.52369877 & 0.8660004 \end{array}$

Paso 8

$0.866$