Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \frac{- 2}{3}} \frac{6 x^{3} - 17 x^{2} - 5 x + 6}{9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 6 x^{3} - 17 x^{2} - 5 x + 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\frac{- 2}{3}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 6 x^{3} - lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 17 x^{2} - lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 5 x + lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Paso 1.1.2.2

Mueve el término $6$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{6 lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x^{3} - lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 17 x^{2} - lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 5 x + lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Paso 1.1.2.3

Mueve el exponente $3$ de $x^{3}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{6 {(lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x)}^{3} - lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 17 x^{2} - lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 5 x + lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Paso 1.1.2.4

Mueve el término $17$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{6 {(lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x)}^{3} - 17 lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x^{2} - lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 5 x + lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Paso 1.1.2.5

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{6 {(lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x)}^{3} - 17 {(lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x)}^{2} - lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 5 x + lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Paso 1.1.2.6

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{6 {(lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x)}^{3} - 17 {(lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x)}^{2} - 5 lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x + lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Paso 1.1.2.7

Evalúa el límite de $6$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\frac{- 2}{3}$ .

$\frac{6 {(lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x)}^{3} - 17 {(lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x)}^{2} - 5 lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x + 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Paso 1.1.2.8

Evalúa los límites mediante el ingreso de $\frac{- 2}{3}$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.1.2.8.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{- 2}{3}$ para $x$ .

$\frac{6 {(\frac{- 2}{3})}^{3} - 17 {(lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x)}^{2} - 5 lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x + 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Paso 1.1.2.8.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{6 {(- \frac{2}{3})}^{3} - 17 {(lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x)}^{2} - 5 lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x + 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Paso 1.1.2.8.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{- 2}{3}$ para $x$ .

$\frac{6 {(- \frac{2}{3})}^{3} - 17 {(\frac{- 2}{3})}^{2} - 5 lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x + 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Paso 1.1.2.8.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{6 {(- \frac{2}{3})}^{3} - 17 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 5 lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x + 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Paso 1.1.2.8.5

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{- 2}{3}$ para $x$ .

$\frac{6 {(- \frac{2}{3})}^{3} - 17 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 5 (\frac{- 2}{3}) + 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Paso 1.1.2.8.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{6 {(- \frac{2}{3})}^{3} - 17 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2}{3}) + 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Paso 1.1.2.9

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.9.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.9.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 1.1.2.9.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{2}{3}$ .

$\frac{6 ({(- 1)}^{3} {(\frac{2}{3})}^{3}) - 17 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2}{3}) + 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Paso 1.1.2.9.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{2}{3}$ .

$\frac{6 ({(- 1)}^{3} \frac{2^{3}}{3^{3}}) - 17 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2}{3}) + 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Paso 1.1.2.9.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$\frac{6 (- \frac{2^{3}}{3^{3}}) - 17 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2}{3}) + 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Paso 1.1.2.9.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$\frac{6 (- \frac{8}{3^{3}}) - 17 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2}{3}) + 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Paso 1.1.2.9.1.4

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$\frac{6 (- \frac{8}{27}) - 17 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2}{3}) + 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Paso 1.1.2.9.1.5

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.1.2.9.1.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{8}{27}$ al numerador.

$\frac{6 (\frac{- 8}{27}) - 17 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2}{3}) + 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Paso 1.1.2.9.1.5.2

Factoriza $3$ de $6$ .

$\frac{3 (2) \frac{- 8}{27} - 17 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2}{3}) + 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Paso 1.1.2.9.1.5.3

Factoriza $3$ de $27$ .

$\frac{3 \cdot 2 \frac{- 8}{3 \cdot 9} - 17 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2}{3}) + 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Paso 1.1.2.9.1.5.4

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 2 \frac{- 8}{3 \cdot 9} - 17 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2}{3}) + 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Paso 1.1.2.9.1.5.5

Reescribe la expresión.

$\frac{2 (\frac{- 8}{9}) - 17 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2}{3}) + 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Paso 1.1.2.9.1.6

Combina $2$ y $\frac{- 8}{9}$ .

$\frac{\frac{2 \cdot - 8}{9} - 17 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2}{3}) + 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Paso 1.1.2.9.1.7

Multiplica $2$ por $- 8$ .

$\frac{\frac{- 16}{9} - 17 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2}{3}) + 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Paso 1.1.2.9.1.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{- \frac{16}{9} - 17 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 5 (- \frac{2}{3}) + 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Paso 1.1.2.9.1.9

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 1.1.2.9.1.9.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{2}{3}$ .

$\frac{- \frac{16}{9} - 17 ({(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2}) - 5 (- \frac{2}{3}) + 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Paso 1.1.2.9.1.9.2

Aplica la regla del producto a $\frac{2}{3}$ .

$\frac{- \frac{16}{9} - 17 ({(- 1)}^{2} \frac{2^{2}}{3^{2}}) - 5 (- \frac{2}{3}) + 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Paso 1.1.2.9.1.10

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$\frac{- \frac{16}{9} - 17 (1 \frac{2^{2}}{3^{2}}) - 5 (- \frac{2}{3}) + 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Paso 1.1.2.9.1.11

Multiplica $\frac{2^{2}}{3^{2}}$ por $1$ .

$\frac{- \frac{16}{9} - 17 \frac{2^{2}}{3^{2}} - 5 (- \frac{2}{3}) + 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Paso 1.1.2.9.1.12

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{- \frac{16}{9} - 17 \frac{4}{3^{2}} - 5 (- \frac{2}{3}) + 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Paso 1.1.2.9.1.13

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{- \frac{16}{9} - 17 (\frac{4}{9}) - 5 (- \frac{2}{3}) + 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Paso 1.1.2.9.1.14

Multiplica $- 17 (\frac{4}{9})$ .

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Paso 1.1.2.9.1.14.1

Combina $- 17$ y $\frac{4}{9}$ .

$\frac{- \frac{16}{9} + \frac{- 17 \cdot 4}{9} - 5 (- \frac{2}{3}) + 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Paso 1.1.2.9.1.14.2

Multiplica $- 17$ por $4$ .

$\frac{- \frac{16}{9} + \frac{- 68}{9} - 5 (- \frac{2}{3}) + 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Paso 1.1.2.9.1.15

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{- \frac{16}{9} - \frac{68}{9} - 5 (- \frac{2}{3}) + 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Paso 1.1.2.9.1.16

Multiplica $- 5 (- \frac{2}{3})$ .

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Paso 1.1.2.9.1.16.1

Multiplica $- 1$ por $- 5$ .

$\frac{- \frac{16}{9} - \frac{68}{9} + 5 (\frac{2}{3}) + 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Paso 1.1.2.9.1.16.2

Combina $5$ y $\frac{2}{3}$ .

$\frac{- \frac{16}{9} - \frac{68}{9} + \frac{5 \cdot 2}{3} + 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Paso 1.1.2.9.1.16.3

Multiplica $5$ por $2$ .

$\frac{- \frac{16}{9} - \frac{68}{9} + \frac{10}{3} + 6}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Paso 1.1.2.9.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{6 + \frac{- 16 - 68}{9} + \frac{10}{3}}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Paso 1.1.2.9.3

Resta $68$ de $- 16$ .

$\frac{6 + \frac{- 84}{9} + \frac{10}{3}}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Paso 1.1.2.9.4

Obtén el denominador común

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Paso 1.1.2.9.4.1

Escribe $6$ como una fracción con el denominador $1$ .

$\frac{\frac{6}{1} + \frac{- 84}{9} + \frac{10}{3}}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Paso 1.1.2.9.4.2

Multiplica $\frac{6}{1}$ por $\frac{9}{9}$ .

$\frac{\frac{6}{1} \cdot \frac{9}{9} + \frac{- 84}{9} + \frac{10}{3}}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Paso 1.1.2.9.4.3

Multiplica $\frac{6}{1}$ por $\frac{9}{9}$ .

$\frac{\frac{6 \cdot 9}{9} + \frac{- 84}{9} + \frac{10}{3}}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Paso 1.1.2.9.4.4

Multiplica $\frac{10}{3}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{6 \cdot 9}{9} + \frac{- 84}{9} + \frac{10}{3} \cdot \frac{3}{3}}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Paso 1.1.2.9.4.5

Multiplica $\frac{10}{3}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{6 \cdot 9}{9} + \frac{- 84}{9} + \frac{10 \cdot 3}{3 \cdot 3}}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Paso 1.1.2.9.4.6

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{\frac{6 \cdot 9}{9} + \frac{- 84}{9} + \frac{10 \cdot 3}{9}}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Paso 1.1.2.9.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{6 \cdot 9 - 84 + 10 \cdot 3}{9}}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Paso 1.1.2.9.6

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.9.6.1

Multiplica $6$ por $9$ .

$\frac{\frac{54 - 84 + 10 \cdot 3}{9}}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Paso 1.1.2.9.6.2

Multiplica $10$ por $3$ .

$\frac{\frac{54 - 84 + 30}{9}}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Paso 1.1.2.9.7

Resta $84$ de $54$ .

$\frac{\frac{- 30 + 30}{9}}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Paso 1.1.2.9.8

Suma $- 30$ y $30$ .

$\frac{\frac{0}{9}}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Paso 1.1.2.9.9

Divide $0$ por $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\frac{- 2}{3}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 9 x^{3} + lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 36 x^{2} - lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 4 x - lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 16}$

Paso 1.1.3.2

Mueve el término $9$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{9 lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x^{3} + lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 36 x^{2} - lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 4 x - lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 16}$

Paso 1.1.3.3

Mueve el exponente $3$ de $x^{3}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{0}{9 {(lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x)}^{3} + lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 36 x^{2} - lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 4 x - lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 16}$

Paso 1.1.3.4

Mueve el término $36$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{9 {(lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x)}^{3} + 36 lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x^{2} - lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 4 x - lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 16}$

Paso 1.1.3.5

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{0}{9 {(lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x)}^{3} + 36 {(lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x)}^{2} - lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 4 x - lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 16}$

Paso 1.1.3.6

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{9 {(lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x)}^{3} + 36 {(lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x)}^{2} - 4 lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x - lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 16}$

Paso 1.1.3.7

Evalúa el límite de $16$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\frac{- 2}{3}$ .

$\frac{0}{9 {(lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x)}^{3} + 36 {(lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x)}^{2} - 4 lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x - 1 \cdot 16}$

Paso 1.1.3.8

Evalúa los límites mediante el ingreso de $\frac{- 2}{3}$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.1.3.8.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{- 2}{3}$ para $x$ .

$\frac{0}{9 {(\frac{- 2}{3})}^{3} + 36 {(lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x)}^{2} - 4 lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x - 1 \cdot 16}$

Paso 1.1.3.8.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{0}{9 {(- \frac{2}{3})}^{3} + 36 {(lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x)}^{2} - 4 lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x - 1 \cdot 16}$

Paso 1.1.3.8.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{- 2}{3}$ para $x$ .

$\frac{0}{9 {(- \frac{2}{3})}^{3} + 36 {(\frac{- 2}{3})}^{2} - 4 lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x - 1 \cdot 16}$

Paso 1.1.3.8.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{0}{9 {(- \frac{2}{3})}^{3} + 36 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 4 lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x - 1 \cdot 16}$

Paso 1.1.3.8.5

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{- 2}{3}$ para $x$ .

$\frac{0}{9 {(- \frac{2}{3})}^{3} + 36 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 4 (\frac{- 2}{3}) - 1 \cdot 16}$

Paso 1.1.3.8.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{0}{9 {(- \frac{2}{3})}^{3} + 36 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 4 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 16}$

Paso 1.1.3.9

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.3.9.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.9.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 1.1.3.9.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{2}{3}$ .

$\frac{0}{9 ({(- 1)}^{3} {(\frac{2}{3})}^{3}) + 36 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 4 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 16}$

Paso 1.1.3.9.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{2}{3}$ .

$\frac{0}{9 ({(- 1)}^{3} \frac{2^{3}}{3^{3}}) + 36 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 4 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 16}$

Paso 1.1.3.9.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$\frac{0}{9 (- \frac{2^{3}}{3^{3}}) + 36 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 4 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 16}$

Paso 1.1.3.9.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$\frac{0}{9 (- \frac{8}{3^{3}}) + 36 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 4 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 16}$

Paso 1.1.3.9.1.4

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$\frac{0}{9 (- \frac{8}{27}) + 36 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 4 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 16}$

Paso 1.1.3.9.1.5

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 1.1.3.9.1.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{8}{27}$ al numerador.

$\frac{0}{9 (\frac{- 8}{27}) + 36 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 4 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 16}$

Paso 1.1.3.9.1.5.2

Factoriza $9$ de $27$ .

$\frac{0}{9 \frac{- 8}{9 (3)} + 36 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 4 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 16}$

Paso 1.1.3.9.1.5.3

Cancela el factor común.

$\frac{0}{9 \frac{- 8}{9 \cdot 3} + 36 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 4 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 16}$

Paso 1.1.3.9.1.5.4

Reescribe la expresión.

$\frac{0}{\frac{- 8}{3} + 36 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 4 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 16}$

Paso 1.1.3.9.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{0}{- \frac{8}{3} + 36 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 4 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 16}$

Paso 1.1.3.9.1.7

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 1.1.3.9.1.7.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{2}{3}$ .

$\frac{0}{- \frac{8}{3} + 36 ({(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2}) - 4 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 16}$

Paso 1.1.3.9.1.7.2

Aplica la regla del producto a $\frac{2}{3}$ .

$\frac{0}{- \frac{8}{3} + 36 ({(- 1)}^{2} \frac{2^{2}}{3^{2}}) - 4 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 16}$

Paso 1.1.3.9.1.8

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$\frac{0}{- \frac{8}{3} + 36 (1 \frac{2^{2}}{3^{2}}) - 4 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 16}$

Paso 1.1.3.9.1.9

Multiplica $\frac{2^{2}}{3^{2}}$ por $1$ .

$\frac{0}{- \frac{8}{3} + 36 \frac{2^{2}}{3^{2}} - 4 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 16}$

Paso 1.1.3.9.1.10

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{0}{- \frac{8}{3} + 36 \frac{4}{3^{2}} - 4 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 16}$

Paso 1.1.3.9.1.11

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{0}{- \frac{8}{3} + 36 (\frac{4}{9}) - 4 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 16}$

Paso 1.1.3.9.1.12

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 1.1.3.9.1.12.1

Factoriza $9$ de $36$ .

$\frac{0}{- \frac{8}{3} + 9 (4) \frac{4}{9} - 4 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 16}$

Paso 1.1.3.9.1.12.2

Cancela el factor común.

$\frac{0}{- \frac{8}{3} + 9 \cdot 4 \frac{4}{9} - 4 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 16}$

Paso 1.1.3.9.1.12.3

Reescribe la expresión.

$\frac{0}{- \frac{8}{3} + 4 \cdot 4 - 4 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 16}$

Paso 1.1.3.9.1.13

Multiplica $4$ por $4$ .

$\frac{0}{- \frac{8}{3} + 16 - 4 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 16}$

Paso 1.1.3.9.1.14

Multiplica $- 4 (- \frac{2}{3})$ .

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Paso 1.1.3.9.1.14.1

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$\frac{0}{- \frac{8}{3} + 16 + 4 (\frac{2}{3}) - 1 \cdot 16}$

Paso 1.1.3.9.1.14.2

Combina $4$ y $\frac{2}{3}$ .

$\frac{0}{- \frac{8}{3} + 16 + \frac{4 \cdot 2}{3} - 1 \cdot 16}$

Paso 1.1.3.9.1.14.3

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{0}{- \frac{8}{3} + 16 + \frac{8}{3} - 1 \cdot 16}$

Paso 1.1.3.9.1.15

Multiplica $- 1$ por $16$ .

$\frac{0}{- \frac{8}{3} + 16 + \frac{8}{3} - 16}$

Paso 1.1.3.9.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{0}{16 - 16 + \frac{- 8 + 8}{3}}$

Paso 1.1.3.9.3

Suma $- 8$ y $8$ .

$\frac{0}{16 - 16 + \frac{0}{3}}$

Paso 1.1.3.9.4

Obtén el denominador común

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Paso 1.1.3.9.4.1

Escribe $16$ como una fracción con el denominador $1$ .

$\frac{0}{\frac{16}{1} - 16 + \frac{0}{3}}$

Paso 1.1.3.9.4.2

Multiplica $\frac{16}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{0}{\frac{16}{1} \cdot \frac{3}{3} - 16 + \frac{0}{3}}$

Paso 1.1.3.9.4.3

Multiplica $\frac{16}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{0}{\frac{16 \cdot 3}{3} - 16 + \frac{0}{3}}$

Paso 1.1.3.9.4.4

Escribe $- 16$ como una fracción con el denominador $1$ .

$\frac{0}{\frac{16 \cdot 3}{3} + \frac{- 16}{1} + \frac{0}{3}}$

Paso 1.1.3.9.4.5

Multiplica $\frac{- 16}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{0}{\frac{16 \cdot 3}{3} + \frac{- 16}{1} \cdot \frac{3}{3} + \frac{0}{3}}$

Paso 1.1.3.9.4.6

Multiplica $\frac{- 16}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{0}{\frac{16 \cdot 3}{3} + \frac{- 16 \cdot 3}{3} + \frac{0}{3}}$

Paso 1.1.3.9.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{0}{\frac{16 \cdot 3 - 16 \cdot 3}{3}}$

Paso 1.1.3.9.6

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.9.6.1

Multiplica $16$ por $3$ .

$\frac{0}{\frac{48 - 16 \cdot 3}{3}}$

Paso 1.1.3.9.6.2

Multiplica $- 16$ por $3$ .

$\frac{0}{\frac{48 - 48}{3}}$

Paso 1.1.3.9.7

Resta $48$ de $48$ .

$\frac{0}{\frac{0}{3}}$

Paso 1.1.3.9.8

Divide $0$ por $3$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.9.9

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.10

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to \frac{- 2}{3}} \frac{6 x^{3} - 17 x^{2} - 5 x + 6}{9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16} = lim_{x \to \frac{- 2}{3}} \frac{\frac{d}{d x} [6 x^{3} - 17 x^{2} - 5 x + 6]}{\frac{d}{d x} [9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to \frac{- 2}{3}} \frac{\frac{d}{d x} [6 x^{3} - 17 x^{2} - 5 x + 6]}{\frac{d}{d x} [9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $6 x^{3} - 17 x^{2} - 5 x + 6$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 17 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$lim_{x \to \frac{- 2}{3}} \frac{\frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 17 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [6]}{\frac{d}{d x} [9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16]}$

Paso 1.3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 x^{3}]$ .

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Paso 1.3.3.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x^{3}$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to \frac{- 2}{3}} \frac{6 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 17 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [6]}{\frac{d}{d x} [9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16]}$

Paso 1.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$lim_{x \to \frac{- 2}{3}} \frac{6 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 17 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [6]}{\frac{d}{d x} [9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16]}$

Paso 1.3.3.3

Multiplica $3$ por $6$ .

$lim_{x \to \frac{- 2}{3}} \frac{18 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 17 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [6]}{\frac{d}{d x} [9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16]}$

Paso 1.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 17 x^{2}]$ .

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Paso 1.3.4.1

Como $- 17$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 17 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 17 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \frac{- 2}{3}} \frac{18 x^{2} - 17 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [6]}{\frac{d}{d x} [9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16]}$

Paso 1.3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to \frac{- 2}{3}} \frac{18 x^{2} - 17 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [6]}{\frac{d}{d x} [9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16]}$

Paso 1.3.4.3

Multiplica $2$ por $- 17$ .

$lim_{x \to \frac{- 2}{3}} \frac{18 x^{2} - 34 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [6]}{\frac{d}{d x} [9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16]}$

Paso 1.3.5

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

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Paso 1.3.5.1

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 x$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{- 2}{3}} \frac{18 x^{2} - 34 x - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]}{\frac{d}{d x} [9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16]}$

Paso 1.3.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{- 2}{3}} \frac{18 x^{2} - 34 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6]}{\frac{d}{d x} [9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16]}$

Paso 1.3.5.3

Multiplica $- 5$ por $1$ .

$lim_{x \to \frac{- 2}{3}} \frac{18 x^{2} - 34 x - 5 + \frac{d}{d x} [6]}{\frac{d}{d x} [9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16]}$

Paso 1.3.6

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to \frac{- 2}{3}} \frac{18 x^{2} - 34 x - 5 + 0}{\frac{d}{d x} [9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16]}$

Paso 1.3.7

Suma $18 x^{2} - 34 x - 5$ y $0$ .

$lim_{x \to \frac{- 2}{3}} \frac{18 x^{2} - 34 x - 5}{\frac{d}{d x} [9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16]}$

Paso 1.3.8

Según la regla de la suma, la derivada de $9 x^{3} + 36 x^{2} - 4 x - 16$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [9 x^{3}] + \frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$lim_{x \to \frac{- 2}{3}} \frac{18 x^{2} - 34 x - 5}{\frac{d}{d x} [9 x^{3}] + \frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 16]}$

Paso 1.3.9

Evalúa $\frac{d}{d x} [9 x^{3}]$ .

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Paso 1.3.9.1

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9 x^{3}$ con respecto a $x$ es $9 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to \frac{- 2}{3}} \frac{18 x^{2} - 34 x - 5}{9 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 16]}$

Paso 1.3.9.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$lim_{x \to \frac{- 2}{3}} \frac{18 x^{2} - 34 x - 5}{9 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 16]}$

Paso 1.3.9.3

Multiplica $3$ por $9$ .

$lim_{x \to \frac{- 2}{3}} \frac{18 x^{2} - 34 x - 5}{27 x^{2} + \frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 16]}$

Paso 1.3.10

Evalúa $\frac{d}{d x} [36 x^{2}]$ .

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Paso 1.3.10.1

Como $36$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $36 x^{2}$ con respecto a $x$ es $36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \frac{- 2}{3}} \frac{18 x^{2} - 34 x - 5}{27 x^{2} + 36 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 16]}$

Paso 1.3.10.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to \frac{- 2}{3}} \frac{18 x^{2} - 34 x - 5}{27 x^{2} + 36 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 16]}$

Paso 1.3.10.3

Multiplica $2$ por $36$ .

$lim_{x \to \frac{- 2}{3}} \frac{18 x^{2} - 34 x - 5}{27 x^{2} + 72 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 16]}$

Paso 1.3.11

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Paso 1.3.11.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{- 2}{3}} \frac{18 x^{2} - 34 x - 5}{27 x^{2} + 72 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 16]}$

Paso 1.3.11.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{- 2}{3}} \frac{18 x^{2} - 34 x - 5}{27 x^{2} + 72 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 16]}$

Paso 1.3.11.3

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$lim_{x \to \frac{- 2}{3}} \frac{18 x^{2} - 34 x - 5}{27 x^{2} + 72 x - 4 + \frac{d}{d x} [- 16]}$

Paso 1.3.12

Como $- 16$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 16$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to \frac{- 2}{3}} \frac{18 x^{2} - 34 x - 5}{27 x^{2} + 72 x - 4 + 0}$

Paso 1.3.13

Suma $27 x^{2} + 72 x - 4$ y $0$ .

$lim_{x \to \frac{- 2}{3}} \frac{18 x^{2} - 34 x - 5}{27 x^{2} + 72 x - 4}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\frac{- 2}{3}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 18 x^{2} - 34 x - 5}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 27 x^{2} + 72 x - 4}$

Paso 2.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\frac{- 2}{3}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 18 x^{2} - lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 34 x - lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 5}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 27 x^{2} + 72 x - 4}$

Paso 2.3

Mueve el término $18$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{18 lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x^{2} - lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 34 x - lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 5}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 27 x^{2} + 72 x - 4}$

Paso 2.4

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{18 {(lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x)}^{2} - lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 34 x - lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 5}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 27 x^{2} + 72 x - 4}$

Paso 2.5

Mueve el término $34$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{18 {(lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x)}^{2} - 34 lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x - lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 5}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 27 x^{2} + 72 x - 4}$

Paso 2.6

Evalúa el límite de $5$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\frac{- 2}{3}$ .

$\frac{18 {(lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x)}^{2} - 34 lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x - 1 \cdot 5}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 27 x^{2} + 72 x - 4}$

Paso 2.7

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\frac{- 2}{3}$ .

$\frac{18 {(lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x)}^{2} - 34 lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x - 1 \cdot 5}{lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 27 x^{2} + lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 72 x - lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 4}$

Paso 2.8

Mueve el término $27$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{18 {(lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x)}^{2} - 34 lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x - 1 \cdot 5}{27 lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x^{2} + lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 72 x - lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 4}$

Paso 2.9

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{18 {(lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x)}^{2} - 34 lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x - 1 \cdot 5}{27 {(lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x)}^{2} + lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 72 x - lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 4}$

Paso 2.10

Mueve el término $72$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{18 {(lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x)}^{2} - 34 lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x - 1 \cdot 5}{27 {(lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x)}^{2} + 72 lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x - lim_{x \to \frac{- 2}{3}} 4}$

Paso 2.11

Evalúa el límite de $4$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\frac{- 2}{3}$ .

$\frac{18 {(lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x)}^{2} - 34 lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x - 1 \cdot 5}{27 {(lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x)}^{2} + 72 lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x - 1 \cdot 4}$

Paso 3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $\frac{- 2}{3}$ para todos los casos de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{- 2}{3}$ para $x$ .

$\frac{18 {(\frac{- 2}{3})}^{2} - 34 lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x - 1 \cdot 5}{27 {(lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x)}^{2} + 72 lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x - 1 \cdot 4}$

Paso 3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{18 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 34 lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x - 1 \cdot 5}{27 {(lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x)}^{2} + 72 lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x - 1 \cdot 4}$

Paso 3.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{- 2}{3}$ para $x$ .

$\frac{18 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 34 (\frac{- 2}{3}) - 1 \cdot 5}{27 {(lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x)}^{2} + 72 lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x - 1 \cdot 4}$

Paso 3.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{18 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 34 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 5}{27 {(lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x)}^{2} + 72 lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x - 1 \cdot 4}$

Paso 3.5

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{- 2}{3}$ para $x$ .

$\frac{18 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 34 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 5}{27 {(\frac{- 2}{3})}^{2} + 72 lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x - 1 \cdot 4}$

Paso 3.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{18 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 34 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 5}{27 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 72 lim_{x \to \frac{- 2}{3}} x - 1 \cdot 4}$

Paso 3.7

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{- 2}{3}$ para $x$ .

$\frac{18 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 34 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 5}{27 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 72 (\frac{- 2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Paso 3.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{18 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 34 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 5}{27 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 72 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 4.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{2}{3}$ .

$\frac{18 ({(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2}) - 34 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 5}{27 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 72 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Paso 4.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{2}{3}$ .

$\frac{18 ({(- 1)}^{2} \frac{2^{2}}{3^{2}}) - 34 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 5}{27 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 72 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Paso 4.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$\frac{18 (1 \frac{2^{2}}{3^{2}}) - 34 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 5}{27 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 72 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Paso 4.1.3

Multiplica $\frac{2^{2}}{3^{2}}$ por $1$ .

$\frac{18 \frac{2^{2}}{3^{2}} - 34 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 5}{27 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 72 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Paso 4.1.4

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{18 \frac{4}{3^{2}} - 34 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 5}{27 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 72 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Paso 4.1.5

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{18 (\frac{4}{9}) - 34 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 5}{27 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 72 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Paso 4.1.6

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 4.1.6.1

Factoriza $9$ de $18$ .

$\frac{9 (2) \frac{4}{9} - 34 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 5}{27 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 72 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Paso 4.1.6.2

Cancela el factor común.

$\frac{9 \cdot 2 \frac{4}{9} - 34 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 5}{27 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 72 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Paso 4.1.6.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 \cdot 4 - 34 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 5}{27 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 72 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Paso 4.1.7

Multiplica $2$ por $4$ .

$\frac{8 - 34 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 5}{27 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 72 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Paso 4.1.8

Multiplica $- 34 (- \frac{2}{3})$ .

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Paso 4.1.8.1

Multiplica $- 1$ por $- 34$ .

$\frac{8 + 34 (\frac{2}{3}) - 1 \cdot 5}{27 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 72 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Paso 4.1.8.2

Combina $34$ y $\frac{2}{3}$ .

$\frac{8 + \frac{34 \cdot 2}{3} - 1 \cdot 5}{27 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 72 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Paso 4.1.8.3

Multiplica $34$ por $2$ .

$\frac{8 + \frac{68}{3} - 1 \cdot 5}{27 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 72 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Paso 4.1.9

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$\frac{8 + \frac{68}{3} - 5}{27 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 72 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Paso 4.1.10

Para escribir $8$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8 \cdot \frac{3}{3} + \frac{68}{3} - 5}{27 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 72 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Paso 4.1.11

Combina $8$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{8 \cdot 3}{3} + \frac{68}{3} - 5}{27 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 72 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Paso 4.1.12

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{8 \cdot 3 + 68}{3} - 5}{27 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 72 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Paso 4.1.13

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.13.1

Multiplica $8$ por $3$ .

$\frac{\frac{24 + 68}{3} - 5}{27 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 72 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Paso 4.1.13.2

Suma $24$ y $68$ .

$\frac{\frac{92}{3} - 5}{27 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 72 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Paso 4.1.14

Para escribir $- 5$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{92}{3} - 5 \cdot \frac{3}{3}}{27 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 72 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Paso 4.1.15

Combina $- 5$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{92}{3} + \frac{- 5 \cdot 3}{3}}{27 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 72 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Paso 4.1.16

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{92 - 5 \cdot 3}{3}}{27 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 72 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Paso 4.1.17

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.17.1

Multiplica $- 5$ por $3$ .

$\frac{\frac{92 - 15}{3}}{27 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 72 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Paso 4.1.17.2

Resta $15$ de $92$ .

$\frac{\frac{77}{3}}{27 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 72 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Paso 4.2

Simplifica el denominador.

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Paso 4.2.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{2}{3}$ .

$\frac{\frac{77}{3}}{27 ({(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2}) + 72 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Paso 4.2.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{2}{3}$ .

$\frac{\frac{77}{3}}{27 ({(- 1)}^{2} \frac{2^{2}}{3^{2}}) + 72 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Paso 4.2.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\frac{77}{3}}{27 (1 \frac{2^{2}}{3^{2}}) + 72 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Paso 4.2.3

Multiplica $\frac{2^{2}}{3^{2}}$ por $1$ .

$\frac{\frac{77}{3}}{27 \frac{2^{2}}{3^{2}} + 72 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Paso 4.2.4

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\frac{77}{3}}{27 \frac{4}{3^{2}} + 72 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Paso 4.2.5

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\frac{77}{3}}{27 (\frac{4}{9}) + 72 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Paso 4.2.6

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 4.2.6.1

Factoriza $9$ de $27$ .

$\frac{\frac{77}{3}}{9 (3) \frac{4}{9} + 72 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Paso 4.2.6.2

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{77}{3}}{9 \cdot 3 \frac{4}{9} + 72 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Paso 4.2.6.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{77}{3}}{3 \cdot 4 + 72 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Paso 4.2.7

Multiplica $3$ por $4$ .

$\frac{\frac{77}{3}}{12 + 72 (- \frac{2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Paso 4.2.8

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.8.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{2}{3}$ al numerador.

$\frac{\frac{77}{3}}{12 + 72 (\frac{- 2}{3}) - 1 \cdot 4}$

Paso 4.2.8.2

Factoriza $3$ de $72$ .

$\frac{\frac{77}{3}}{12 + 3 (24) \frac{- 2}{3} - 1 \cdot 4}$

Paso 4.2.8.3

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{77}{3}}{12 + 3 \cdot 24 \frac{- 2}{3} - 1 \cdot 4}$

Paso 4.2.8.4

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{77}{3}}{12 + 24 \cdot - 2 - 1 \cdot 4}$

Paso 4.2.9

Multiplica $24$ por $- 2$ .

$\frac{\frac{77}{3}}{12 - 48 - 1 \cdot 4}$

Paso 4.2.10

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{\frac{77}{3}}{12 - 48 - 4}$

Paso 4.2.11

Resta $48$ de $12$ .

$\frac{\frac{77}{3}}{- 36 - 4}$

Paso 4.2.12

Resta $4$ de $- 36$ .

$\frac{\frac{77}{3}}{- 40}$

Paso 4.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{77}{3} \cdot \frac{1}{- 40}$

Paso 4.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{77}{3} (- \frac{1}{40})$

Paso 4.5

Multiplica $\frac{77}{3} (- \frac{1}{40})$ .

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Paso 4.5.1

Multiplica $\frac{77}{3}$ por $\frac{1}{40}$ .

$- \frac{77}{3 \cdot 40}$

Paso 4.5.2

Multiplica $3$ por $40$ .

$- \frac{77}{120}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{77}{120}$

Forma decimal:

$- 0.641\overline{6}$