Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{3 x^{2} + 5 x - 2}{6 x^{2} + x - 1}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{3}} 3 x^{2} + 5 x - 2}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x^{2} + x - 1}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\frac{1}{3}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{3}} 3 x^{2} + lim_{x \to \frac{1}{3}} 5 x - lim_{x \to \frac{1}{3}} 2}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x^{2} + x - 1}$

Paso 1.1.2.2

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to \frac{1}{3}} x^{2} + lim_{x \to \frac{1}{3}} 5 x - lim_{x \to \frac{1}{3}} 2}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x^{2} + x - 1}$

Paso 1.1.2.3

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{3 {(lim_{x \to \frac{1}{3}} x)}^{2} + lim_{x \to \frac{1}{3}} 5 x - lim_{x \to \frac{1}{3}} 2}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x^{2} + x - 1}$

Paso 1.1.2.4

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to \frac{1}{3}} x)}^{2} + 5 lim_{x \to \frac{1}{3}} x - lim_{x \to \frac{1}{3}} 2}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x^{2} + x - 1}$

Paso 1.1.2.5

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to \frac{1}{3}} x)}^{2} + 5 lim_{x \to \frac{1}{3}} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x^{2} + x - 1}$

Paso 1.1.2.6

Evalúa los límites mediante el ingreso de $\frac{1}{3}$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.1.2.6.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{1}{3}$ para $x$ .

$\frac{3 {(\frac{1}{3})}^{2} + 5 lim_{x \to \frac{1}{3}} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x^{2} + x - 1}$

Paso 1.1.2.6.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{1}{3}$ para $x$ .

$\frac{3 {(\frac{1}{3})}^{2} + 5 (\frac{1}{3}) - 1 \cdot 2}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x^{2} + x - 1}$

Paso 1.1.2.7

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.7.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.7.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3 \frac{1^{2}}{3^{2}} + 5 (\frac{1}{3}) - 1 \cdot 2}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x^{2} + x - 1}$

Paso 1.1.2.7.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.1.2.7.1.2.1

Factoriza $3$ de $3^{2}$ .

$\frac{3 \frac{1^{2}}{3 \cdot 3} + 5 (\frac{1}{3}) - 1 \cdot 2}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x^{2} + x - 1}$

Paso 1.1.2.7.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \frac{1^{2}}{3 \cdot 3} + 5 (\frac{1}{3}) - 1 \cdot 2}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x^{2} + x - 1}$

Paso 1.1.2.7.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{1^{2}}{3} + 5 (\frac{1}{3}) - 1 \cdot 2}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x^{2} + x - 1}$

Paso 1.1.2.7.1.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{\frac{1}{3} + 5 (\frac{1}{3}) - 1 \cdot 2}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x^{2} + x - 1}$

Paso 1.1.2.7.1.4

Combina $5$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{\frac{1}{3} + \frac{5}{3} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x^{2} + x - 1}$

Paso 1.1.2.7.1.5

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{\frac{1}{3} + \frac{5}{3} - 2}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x^{2} + x - 1}$

Paso 1.1.2.7.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 2 + \frac{1 + 5}{3}}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x^{2} + x - 1}$

Paso 1.1.2.7.3

Suma $1$ y $5$ .

$\frac{- 2 + \frac{6}{3}}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x^{2} + x - 1}$

Paso 1.1.2.7.4

Divide $6$ por $3$ .

$\frac{- 2 + 2}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x^{2} + x - 1}$

Paso 1.1.2.7.5

Suma $- 2$ y $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x^{2} + x - 1}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\frac{1}{3}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x^{2} + lim_{x \to \frac{1}{3}} x - lim_{x \to \frac{1}{3}} 1}$

Paso 1.1.3.2

Mueve el término $6$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{6 lim_{x \to \frac{1}{3}} x^{2} + lim_{x \to \frac{1}{3}} x - lim_{x \to \frac{1}{3}} 1}$

Paso 1.1.3.3

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{0}{6 {(lim_{x \to \frac{1}{3}} x)}^{2} + lim_{x \to \frac{1}{3}} x - lim_{x \to \frac{1}{3}} 1}$

Paso 1.1.3.4

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\frac{1}{3}$ .

$\frac{0}{6 {(lim_{x \to \frac{1}{3}} x)}^{2} + lim_{x \to \frac{1}{3}} x - 1 \cdot 1}$

Paso 1.1.3.5

Evalúa los límites mediante el ingreso de $\frac{1}{3}$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.1.3.5.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{1}{3}$ para $x$ .

$\frac{0}{6 {(\frac{1}{3})}^{2} + lim_{x \to \frac{1}{3}} x - 1 \cdot 1}$

Paso 1.1.3.5.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{1}{3}$ para $x$ .

$\frac{0}{6 {(\frac{1}{3})}^{2} + \frac{1}{3} - 1 \cdot 1}$

Paso 1.1.3.6

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.3.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.6.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{3}$ .

$\frac{0}{6 \frac{1^{2}}{3^{2}} + \frac{1}{3} - 1 \cdot 1}$

Paso 1.1.3.6.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{0}{6 \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{3} - 1 \cdot 1}$

Paso 1.1.3.6.1.3

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{0}{6 (\frac{1}{9}) + \frac{1}{3} - 1 \cdot 1}$

Paso 1.1.3.6.1.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.1.3.6.1.4.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$\frac{0}{3 (2) \frac{1}{9} + \frac{1}{3} - 1 \cdot 1}$

Paso 1.1.3.6.1.4.2

Factoriza $3$ de $9$ .

$\frac{0}{3 \cdot 2 \frac{1}{3 \cdot 3} + \frac{1}{3} - 1 \cdot 1}$

Paso 1.1.3.6.1.4.3

Cancela el factor común.

$\frac{0}{3 \cdot 2 \frac{1}{3 \cdot 3} + \frac{1}{3} - 1 \cdot 1}$

Paso 1.1.3.6.1.4.4

Reescribe la expresión.

$\frac{0}{2 (\frac{1}{3}) + \frac{1}{3} - 1 \cdot 1}$

Paso 1.1.3.6.1.5

Combina $2$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{0}{\frac{2}{3} + \frac{1}{3} - 1 \cdot 1}$

Paso 1.1.3.6.1.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{\frac{2}{3} + \frac{1}{3} - 1}$

Paso 1.1.3.6.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{0}{- 1 + \frac{2 + 1}{3}}$

Paso 1.1.3.6.3

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{0}{- 1 + \frac{3}{3}}$

Paso 1.1.3.6.4

Divide $3$ por $3$ .

$\frac{0}{- 1 + 1}$

Paso 1.1.3.6.5

Suma $- 1$ y $1$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.6.6

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.7

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{3 x^{2} + 5 x - 2}{6 x^{2} + x - 1} = lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5 x - 2]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x - 1]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5 x - 2]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x - 1]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{2} + 5 x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x - 1]}$

Paso 1.3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Paso 1.3.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x - 1]}$

Paso 1.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{3 (2 x) + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x - 1]}$

Paso 1.3.3.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{6 x + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x - 1]}$

Paso 1.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Paso 1.3.4.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{6 x + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x - 1]}$

Paso 1.3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{6 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x - 1]}$

Paso 1.3.4.3

Multiplica $5$ por $1$ .

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{6 x + 5 + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x - 1]}$

Paso 1.3.5

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{6 x + 5 + 0}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x - 1]}$

Paso 1.3.6

Suma $6 x + 5$ y $0$ .

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{6 x + 5}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x - 1]}$

Paso 1.3.7

Según la regla de la suma, la derivada de $6 x^{2} + x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{6 x + 5}{\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 1.3.8

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Paso 1.3.8.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x^{2}$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{6 x + 5}{6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 1.3.8.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{6 x + 5}{6 (2 x) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 1.3.8.3

Multiplica $2$ por $6$ .

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{6 x + 5}{12 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 1.3.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{6 x + 5}{12 x + 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 1.3.10

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{6 x + 5}{12 x + 1 + 0}$

Paso 1.3.11

Suma $12 x + 1$ y $0$ .

$lim_{x \to \frac{1}{3}} \frac{6 x + 5}{12 x + 1}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\frac{1}{3}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x + 5}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 12 x + 1}$

Paso 2.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\frac{1}{3}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{3}} 6 x + lim_{x \to \frac{1}{3}} 5}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 12 x + 1}$

Paso 2.3

Mueve el término $6$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{6 lim_{x \to \frac{1}{3}} x + lim_{x \to \frac{1}{3}} 5}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 12 x + 1}$

Paso 2.4

Evalúa el límite de $5$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\frac{1}{3}$ .

$\frac{6 lim_{x \to \frac{1}{3}} x + 5}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 12 x + 1}$

Paso 2.5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\frac{1}{3}$ .

$\frac{6 lim_{x \to \frac{1}{3}} x + 5}{lim_{x \to \frac{1}{3}} 12 x + lim_{x \to \frac{1}{3}} 1}$

Paso 2.6

Mueve el término $12$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{6 lim_{x \to \frac{1}{3}} x + 5}{12 lim_{x \to \frac{1}{3}} x + lim_{x \to \frac{1}{3}} 1}$

Paso 2.7

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\frac{1}{3}$ .

$\frac{6 lim_{x \to \frac{1}{3}} x + 5}{12 lim_{x \to \frac{1}{3}} x + 1}$

Paso 3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $\frac{1}{3}$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 3.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{1}{3}$ para $x$ .

$\frac{6 (\frac{1}{3}) + 5}{12 lim_{x \to \frac{1}{3}} x + 1}$

Paso 3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{1}{3}$ para $x$ .

$\frac{6 (\frac{1}{3}) + 5}{12 (\frac{1}{3}) + 1}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.1.1.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$\frac{3 (2) \frac{1}{3} + 5}{12 (\frac{1}{3}) + 1}$

Paso 4.1.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 2 \frac{1}{3} + 5}{12 (\frac{1}{3}) + 1}$

Paso 4.1.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 + 5}{12 (\frac{1}{3}) + 1}$

Paso 4.1.2

Suma $2$ y $5$ .

$\frac{7}{12 (\frac{1}{3}) + 1}$

Paso 4.2

Simplifica el denominador.

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.2.1.1

Factoriza $3$ de $12$ .

$\frac{7}{3 (4) \frac{1}{3} + 1}$

Paso 4.2.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{7}{3 \cdot 4 \frac{1}{3} + 1}$

Paso 4.2.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{7}{4 + 1}$

Paso 4.2.2

Suma $4$ y $1$ .

$\frac{7}{5}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{7}{5}$

Forma decimal:

$1.4$