Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{3} - 2 x^{2} - 5}{5 x - 3 x^{2} - 12 x^{3}}$

Paso 1

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 2 x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 5}{x^{3}}}{\frac{5 x}{x^{3}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 12 x^{3}}{x^{3}}}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Cancela el factor común de $x^{3}$ .

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Paso 2.1.1.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 2 x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 5}{x^{3}}}{\frac{5 x}{x^{3}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 12 x^{3}}{x^{3}}}$

Paso 2.1.1.2

Divide $6$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 + \frac{- 2 x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 5}{x^{3}}}{\frac{5 x}{x^{3}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 12 x^{3}}{x^{3}}}$

Paso 2.1.2

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x^{3}$ .

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Paso 2.1.2.1

Factoriza $x^{2}$ de $- 2 x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 + \frac{x^{2} \cdot - 2}{x^{3}} + \frac{- 5}{x^{3}}}{\frac{5 x}{x^{3}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 12 x^{3}}{x^{3}}}$

Paso 2.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.2.2.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 + \frac{x^{2} \cdot - 2}{x^{2} x} + \frac{- 5}{x^{3}}}{\frac{5 x}{x^{3}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 12 x^{3}}{x^{3}}}$

Paso 2.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{6 + \frac{x^{2} \cdot - 2}{x^{2} x} + \frac{- 5}{x^{3}}}{\frac{5 x}{x^{3}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 12 x^{3}}{x^{3}}}$

Paso 2.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{6 + \frac{- 2}{x} + \frac{- 5}{x^{3}}}{\frac{5 x}{x^{3}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 12 x^{3}}{x^{3}}}$

Paso 2.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to \infty} \frac{6 - \frac{2}{x} + \frac{- 5}{x^{3}}}{\frac{5 x}{x^{3}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 12 x^{3}}{x^{3}}}$

Paso 2.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to \infty} \frac{6 - \frac{2}{x} - \frac{5}{x^{3}}}{\frac{5 x}{x^{3}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 12 x^{3}}{x^{3}}}$

Paso 2.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $x$ y $x^{3}$ .

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Paso 2.2.1.1

Factoriza $x$ de $5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 - \frac{2}{x} - \frac{5}{x^{3}}}{\frac{x \cdot 5}{x^{3}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 12 x^{3}}{x^{3}}}$

Paso 2.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.1.2.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 - \frac{2}{x} - \frac{5}{x^{3}}}{\frac{x \cdot 5}{x \cdot x^{2}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 12 x^{3}}{x^{3}}}$

Paso 2.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{6 - \frac{2}{x} - \frac{5}{x^{3}}}{\frac{x \cdot 5}{x \cdot x^{2}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 12 x^{3}}{x^{3}}}$

Paso 2.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{6 - \frac{2}{x} - \frac{5}{x^{3}}}{\frac{5}{x^{2}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 12 x^{3}}{x^{3}}}$

Paso 2.2.2

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x^{3}$ .

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Paso 2.2.2.1

Factoriza $x^{2}$ de $- 3 x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 - \frac{2}{x} - \frac{5}{x^{3}}}{\frac{5}{x^{2}} + \frac{x^{2} \cdot - 3}{x^{3}} + \frac{- 12 x^{3}}{x^{3}}}$

Paso 2.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.2.2.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 - \frac{2}{x} - \frac{5}{x^{3}}}{\frac{5}{x^{2}} + \frac{x^{2} \cdot - 3}{x^{2} x} + \frac{- 12 x^{3}}{x^{3}}}$

Paso 2.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{6 - \frac{2}{x} - \frac{5}{x^{3}}}{\frac{5}{x^{2}} + \frac{x^{2} \cdot - 3}{x^{2} x} + \frac{- 12 x^{3}}{x^{3}}}$

Paso 2.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{6 - \frac{2}{x} - \frac{5}{x^{3}}}{\frac{5}{x^{2}} + \frac{- 3}{x} + \frac{- 12 x^{3}}{x^{3}}}$

Paso 2.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to \infty} \frac{6 - \frac{2}{x} - \frac{5}{x^{3}}}{\frac{5}{x^{2}} - \frac{3}{x} + \frac{- 12 x^{3}}{x^{3}}}$

Paso 2.2.4

Cancela el factor común de $x^{3}$ .

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Paso 2.2.4.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{6 - \frac{2}{x} - \frac{5}{x^{3}}}{\frac{5}{x^{2}} - \frac{3}{x} + \frac{- 12 x^{3}}{x^{3}}}$

Paso 2.2.4.2

Divide $- 12$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 - \frac{2}{x} - \frac{5}{x^{3}}}{\frac{5}{x^{2}} - \frac{3}{x} - 12}$

Paso 2.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 6 - \frac{2}{x} - \frac{5}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}} - \frac{3}{x} - 12}$

Paso 2.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 6 - lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}} - \frac{3}{x} - 12}$

Paso 2.5

Evalúa el límite de $6$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{6 - lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}} - \frac{3}{x} - 12}$

Paso 2.6

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{6 - 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}} - \frac{3}{x} - 12}$

Paso 3

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{6 - 2 \cdot 0 - lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}} - \frac{3}{x} - 12}$

Paso 4

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{6 - 2 \cdot 0 - 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}} - \frac{3}{x} - 12}$

Paso 5

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{3}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{6 - 2 \cdot 0 - 5 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}} - \frac{3}{x} - 12}$

Paso 6

Evalúa el límite.

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Paso 6.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{6 - 2 \cdot 0 - 5 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} \frac{3}{x} - lim_{x \to \infty} 12}$

Paso 6.2

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{6 - 2 \cdot 0 - 5 \cdot 0}{5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} \frac{3}{x} - lim_{x \to \infty} 12}$

Paso 7

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{2}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{6 - 2 \cdot 0 - 5 \cdot 0}{5 \cdot 0 - lim_{x \to \infty} \frac{3}{x} - lim_{x \to \infty} 12}$

Paso 8

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{6 - 2 \cdot 0 - 5 \cdot 0}{5 \cdot 0 - 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} 12}$

Paso 9

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{6 - 2 \cdot 0 - 5 \cdot 0}{5 \cdot 0 - 3 \cdot 0 - lim_{x \to \infty} 12}$

Paso 10

Evalúa el límite.

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Paso 10.1

Evalúa el límite de $12$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{6 - 2 \cdot 0 - 5 \cdot 0}{5 \cdot 0 - 3 \cdot 0 - 1 \cdot 12}$

Paso 10.2

Simplifica la respuesta.

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Paso 10.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 10.2.1.1

Multiplica $- 2$ por $0$ .

$\frac{6 + 0 - 5 \cdot 0}{5 \cdot 0 - 3 \cdot 0 - 1 \cdot 12}$

Paso 10.2.1.2

Multiplica $- 5$ por $0$ .

$\frac{6 + 0 + 0}{5 \cdot 0 - 3 \cdot 0 - 1 \cdot 12}$

Paso 10.2.1.3

Suma $6 + 0$ y $0$ .

$\frac{6 + 0}{5 \cdot 0 - 3 \cdot 0 - 1 \cdot 12}$

Paso 10.2.1.4

Suma $6$ y $0$ .

$\frac{6}{5 \cdot 0 - 3 \cdot 0 - 1 \cdot 12}$

Paso 10.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 10.2.2.1

Multiplica $5$ por $0$ .

$\frac{6}{0 - 3 \cdot 0 - 1 \cdot 12}$

Paso 10.2.2.2

Multiplica $- 3$ por $0$ .

$\frac{6}{0 + 0 - 1 \cdot 12}$

Paso 10.2.2.3

Multiplica $- 1$ por $12$ .

$\frac{6}{0 + 0 - 12}$

Paso 10.2.2.4

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{6}{0 - 12}$

Paso 10.2.2.5

Resta $12$ de $0$ .

$\frac{6}{- 12}$

Paso 10.2.3

Cancela el factor común de $6$ y $- 12$ .

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Paso 10.2.3.1

Factoriza $6$ de $6$ .

$\frac{6 (1)}{- 12}$

Paso 10.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.2.3.2.1

Factoriza $6$ de $- 12$ .

$\frac{6 \cdot 1}{6 \cdot - 2}$

Paso 10.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{6 \cdot 1}{6 \cdot - 2}$

Paso 10.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{- 2}$

Paso 10.2.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{2}$

Paso 11

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{1}{2}$

Forma decimal:

$- 0.5$