Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{6 x^{2} + x - 1}{4 x^{2} - 4 x - 3}$

Paso 1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} + x - 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x - 3}$

Paso 2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} + lim_{x \to \frac{1}{2}} x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x - 3}$

Paso 3

Mueve el término $6$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{6 lim_{x \to \frac{1}{2}} x^{2} + lim_{x \to \frac{1}{2}} x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x - 3}$

Paso 4

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{6 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} + lim_{x \to \frac{1}{2}} x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x - 3}$

Paso 5

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{6 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} + lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x - 3}$

Paso 6

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{6 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} + lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 3}$

Paso 7

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{6 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} + lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 1}{4 lim_{x \to \frac{1}{2}} x^{2} - lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 3}$

Paso 8

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{6 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} + lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 1}{4 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} - lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 3}$

Paso 9

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{6 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} + lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 1}{4 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} - 4 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 3}$

Paso 10

Evalúa el límite de $3$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{6 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} + lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 1}{4 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} - 4 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 3}$

Paso 11

Evalúa los límites mediante el ingreso de $\frac{1}{2}$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 11.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{1}{2}$ para $x$ .

$\frac{6 {(\frac{1}{2})}^{2} + lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 1}{4 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} - 4 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 3}$

Paso 11.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{1}{2}$ para $x$ .

$\frac{6 {(\frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{2} - 1 \cdot 1}{4 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} - 4 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 3}$

Paso 11.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{1}{2}$ para $x$ .

$\frac{6 {(\frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{2} - 1 \cdot 1}{4 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 3}$

Paso 11.4

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{1}{2}$ para $x$ .

$\frac{6 {(\frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{2} - 1 \cdot 1}{4 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 3}$

Paso 12

Simplifica la respuesta.

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Paso 12.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $2$ .

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Paso 12.1.1

Multiplica $\frac{6 {(\frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{2} - 1 \cdot 1}{4 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot \frac{6 {(\frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{2} - 1 \cdot 1}{4 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 3}$

Paso 12.1.2

Combinar.

$\frac{2 (6 {(\frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{2} - 1 \cdot 1)}{2 (4 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 3)}$

Paso 12.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (6 {(\frac{1}{2})}^{2}) + 2 (\frac{1}{2}) + 2 (- 1 \cdot 1)}{2 (4 {(\frac{1}{2})}^{2}) + 2 (- 4 (\frac{1}{2})) + 2 (- 1 \cdot 3)}$

Paso 12.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 12.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (6 {(\frac{1}{2})}^{2}) + 2 (\frac{1}{2}) + 2 (- 1 \cdot 1)}{2 (4 {(\frac{1}{2})}^{2}) + 2 (- 4 (\frac{1}{2})) + 2 (- 1 \cdot 3)}$

Paso 12.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2 (6 {(\frac{1}{2})}^{2}) + 1 + 2 (- 1 \cdot 1)}{2 (4 {(\frac{1}{2})}^{2}) + 2 (- 4 (\frac{1}{2})) + 2 (- 1 \cdot 3)}$

Paso 12.4

Simplifica el numerador.

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Paso 12.4.1

Multiplica $2$ por $6$ .

$\frac{12 {(\frac{1}{2})}^{2} + 1 + 2 (- 1 \cdot 1)}{2 \cdot 4 {(\frac{1}{2})}^{2} + 2 (- 4 (\frac{1}{2})) + 2 (- 1 \cdot 3)}$

Paso 12.4.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{12 \frac{1^{2}}{2^{2}} + 1 + 2 (- 1 \cdot 1)}{2 \cdot 4 {(\frac{1}{2})}^{2} + 2 (- 4 (\frac{1}{2})) + 2 (- 1 \cdot 3)}$

Paso 12.4.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{12 \frac{1}{2^{2}} + 1 + 2 (- 1 \cdot 1)}{2 \cdot 4 {(\frac{1}{2})}^{2} + 2 (- 4 (\frac{1}{2})) + 2 (- 1 \cdot 3)}$

Paso 12.4.4

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{12 (\frac{1}{4}) + 1 + 2 (- 1 \cdot 1)}{2 \cdot 4 {(\frac{1}{2})}^{2} + 2 (- 4 (\frac{1}{2})) + 2 (- 1 \cdot 3)}$

Paso 12.4.5

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 12.4.5.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$\frac{4 (3) \frac{1}{4} + 1 + 2 (- 1 \cdot 1)}{2 \cdot 4 {(\frac{1}{2})}^{2} + 2 (- 4 (\frac{1}{2})) + 2 (- 1 \cdot 3)}$

Paso 12.4.5.2

Cancela el factor común.

$\frac{4 \cdot 3 \frac{1}{4} + 1 + 2 (- 1 \cdot 1)}{2 \cdot 4 {(\frac{1}{2})}^{2} + 2 (- 4 (\frac{1}{2})) + 2 (- 1 \cdot 3)}$

Paso 12.4.5.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3 + 1 + 2 (- 1 \cdot 1)}{2 \cdot 4 {(\frac{1}{2})}^{2} + 2 (- 4 (\frac{1}{2})) + 2 (- 1 \cdot 3)}$

Paso 12.4.6

Multiplica $2 (- 1 \cdot 1)$ .

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Paso 12.4.6.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{3 + 1 + 2 \cdot - 1}{2 \cdot 4 {(\frac{1}{2})}^{2} + 2 (- 4 (\frac{1}{2})) + 2 (- 1 \cdot 3)}$

Paso 12.4.6.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{3 + 1 - 2}{2 \cdot 4 {(\frac{1}{2})}^{2} + 2 (- 4 (\frac{1}{2})) + 2 (- 1 \cdot 3)}$

Paso 12.4.7

Suma $3$ y $1$ .

$\frac{4 - 2}{2 \cdot 4 {(\frac{1}{2})}^{2} + 2 (- 4 (\frac{1}{2})) + 2 (- 1 \cdot 3)}$

Paso 12.4.8

Resta $2$ de $4$ .

$\frac{2}{2 \cdot 4 {(\frac{1}{2})}^{2} + 2 (- 4 (\frac{1}{2})) + 2 (- 1 \cdot 3)}$

Paso 12.5

Simplifica el denominador.

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Paso 12.5.1

Multiplica $2$ por $4$ .

$\frac{2}{8 {(\frac{1}{2})}^{2} + 2 (- 4 (\frac{1}{2})) + 2 (- 1 \cdot 3)}$

Paso 12.5.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{8 \frac{1^{2}}{2^{2}} + 2 (- 4 (\frac{1}{2})) + 2 (- 1 \cdot 3)}$

Paso 12.5.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{2}{8 \frac{1}{2^{2}} + 2 (- 4 (\frac{1}{2})) + 2 (- 1 \cdot 3)}$

Paso 12.5.4

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{2}{8 (\frac{1}{4}) + 2 (- 4 (\frac{1}{2})) + 2 (- 1 \cdot 3)}$

Paso 12.5.5

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 12.5.5.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$\frac{2}{4 (2) \frac{1}{4} + 2 (- 4 (\frac{1}{2})) + 2 (- 1 \cdot 3)}$

Paso 12.5.5.2

Cancela el factor común.

$\frac{2}{4 \cdot 2 \frac{1}{4} + 2 (- 4 (\frac{1}{2})) + 2 (- 1 \cdot 3)}$

Paso 12.5.5.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{2 + 2 (- 4 (\frac{1}{2})) + 2 (- 1 \cdot 3)}$

Paso 12.5.6

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 12.5.6.1

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$\frac{2}{2 + 2 (2 (- 2) \frac{1}{2}) + 2 (- 1 \cdot 3)}$

Paso 12.5.6.2

Cancela el factor común.

$\frac{2}{2 + 2 (2 \cdot - 2 \frac{1}{2}) + 2 (- 1 \cdot 3)}$

Paso 12.5.6.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{2 + 2 \cdot - 2 + 2 (- 1 \cdot 3)}$

Paso 12.5.7

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$\frac{2}{2 - 4 + 2 (- 1 \cdot 3)}$

Paso 12.5.8

Multiplica $2 (- 1 \cdot 3)$ .

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Paso 12.5.8.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{2}{2 - 4 + 2 \cdot - 3}$

Paso 12.5.8.2

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$\frac{2}{2 - 4 - 6}$

Paso 12.5.9

Resta $4$ de $2$ .

$\frac{2}{- 2 - 6}$

Paso 12.5.10

Resta $6$ de $- 2$ .

$\frac{2}{- 8}$

Paso 12.6

Cancela el factor común de $2$ y $- 8$ .

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Paso 12.6.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (1)}{- 8}$

Paso 12.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 12.6.2.1

Factoriza $2$ de $- 8$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 4}$

Paso 12.6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 4}$

Paso 12.6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{- 4}$

Paso 12.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{4}$

Paso 13

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{1}{4}$

Forma decimal:

$- 0.25$