Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to - \infty} \frac{7 x + 2}{\sqrt{4 x^{2} + 5 x - 3}}$

Paso 1

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $x = - \sqrt{x^{2}}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{7 x}{x} + \frac{2}{x}}{- \sqrt{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{5 x}{x^{2}} + \frac{- 3}{x^{2}}}}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Cancela el factor común de $x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{7 + \frac{2}{x}}{- \sqrt{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{5 x}{x^{2}} + \frac{- 3}{x^{2}}}}$

Paso 2.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to - \infty} \frac{7 + \frac{2}{x}}{- \sqrt{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{5 x}{x^{2}} + \frac{- 3}{x^{2}}}}$

Paso 2.2.1.2

Divide $4$ por $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{7 + \frac{2}{x}}{- \sqrt{4 + \frac{5 x}{x^{2}} + \frac{- 3}{x^{2}}}}$

Paso 2.2.2

Cancela el factor común de $x$ y $x^{2}$ .

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Paso 2.2.2.1

Factoriza $x$ de $5 x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{7 + \frac{2}{x}}{- \sqrt{4 + \frac{x \cdot 5}{x^{2}} + \frac{- 3}{x^{2}}}}$

Paso 2.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.2.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{7 + \frac{2}{x}}{- \sqrt{4 + \frac{x \cdot 5}{x \cdot x} + \frac{- 3}{x^{2}}}}$

Paso 2.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to - \infty} \frac{7 + \frac{2}{x}}{- \sqrt{4 + \frac{x \cdot 5}{x \cdot x} + \frac{- 3}{x^{2}}}}$

Paso 2.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to - \infty} \frac{7 + \frac{2}{x}}{- \sqrt{4 + \frac{5}{x} + \frac{- 3}{x^{2}}}}$

Paso 2.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to - \infty} \frac{7 + \frac{2}{x}}{- \sqrt{4 + \frac{5}{x} - \frac{3}{x^{2}}}}$

Paso 2.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 7 + \frac{2}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{4 + \frac{5}{x} - \frac{3}{x^{2}}}}$

Paso 2.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 7 + lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{4 + \frac{5}{x} - \frac{3}{x^{2}}}}$

Paso 2.5

Evalúa el límite de $7$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- \infty$ .

$\frac{7 + lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{4 + \frac{5}{x} - \frac{3}{x^{2}}}}$

Paso 2.6

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{7 + 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{4 + \frac{5}{x} - \frac{3}{x^{2}}}}$

Paso 3

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{7 + 2 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{4 + \frac{5}{x} - \frac{3}{x^{2}}}}$

Paso 4

Evalúa el límite.

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Paso 4.1

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{7 + 2 \cdot 0}{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{4 + \frac{5}{x} - \frac{3}{x^{2}}}}$

Paso 4.2

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{7 + 2 \cdot 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 4 + \frac{5}{x} - \frac{3}{x^{2}}}}$

Paso 4.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \infty$ .

$\frac{7 + 2 \cdot 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 4 + lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x} - lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x^{2}}}}$

Paso 4.4

Evalúa el límite de $4$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- \infty$ .

$\frac{7 + 2 \cdot 0}{- \sqrt{4 + lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x} - lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x^{2}}}}$

Paso 4.5

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{7 + 2 \cdot 0}{- \sqrt{4 + 5 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x^{2}}}}$

Paso 5

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{7 + 2 \cdot 0}{- \sqrt{4 + 5 \cdot 0 - lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x^{2}}}}$

Paso 6

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{7 + 2 \cdot 0}{- \sqrt{4 + 5 \cdot 0 - 3 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Paso 7

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{2}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{7 + 2 \cdot 0}{- \sqrt{4 + 5 \cdot 0 - 3 \cdot 0}}$

Paso 8

Simplifica la respuesta.

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Paso 8.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{7 + 0}{- \sqrt{4 + 5 \cdot 0 - 3 \cdot 0}}$

Paso 8.1.2

Suma $7$ y $0$ .

$\frac{7}{- \sqrt{4 + 5 \cdot 0 - 3 \cdot 0}}$

Paso 8.2

Simplifica el denominador.

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Paso 8.2.1

Multiplica $5$ por $0$ .

$\frac{7}{- \sqrt{4 + 0 - 3 \cdot 0}}$

Paso 8.2.2

Multiplica $- 3$ por $0$ .

$\frac{7}{- \sqrt{4 + 0 + 0}}$

Paso 8.2.3

Suma $4 + 0$ y $0$ .

$\frac{7}{- \sqrt{4 + 0}}$

Paso 8.2.4

Suma $4$ y $0$ .

$\frac{7}{- \sqrt{4}}$

Paso 8.2.5

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{7}{- \sqrt{2^{2}}}$

Paso 8.2.6

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{7}{- 1 \cdot 2}$

Paso 8.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{7}{- 2}$

Paso 8.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{7}{2}$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{7}{2}$

Forma decimal:

$- 3.5$