Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to - \infty} x^{2} e^{x}$

Paso 1

Reescribe $x^{2} e^{x}$ como $\frac{x^{2}}{e^{- x}}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{2}}{e^{- x}}$

Paso 2

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 2.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 2.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2}}{lim_{x \to - \infty} e^{- x}}$

Paso 2.1.2

El límite al infinito negativo de un polinomio de grado par con coeficiente principal positivo es infinito.

$\frac{\infty}{lim_{x \to - \infty} e^{- x}}$

Paso 2.1.3

Como el exponente $- x$ se acerca a $\infty$ , la cantidad $e^{- x}$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 2.1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 2.2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{2}}{e^{- x}} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}$

Paso 2.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 2.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x$ .

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Paso 2.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]}$

Paso 2.3.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{e^{u} \frac{d}{d x} [- x]}$

Paso 2.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]}$

Paso 2.3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])}$

Paso 2.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{e^{- x} (- 1 \cdot 1)}$

Paso 2.3.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{e^{- x} \cdot - 1}$

Paso 2.3.7

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{- x}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{- 1 \cdot e^{- x}}$

Paso 2.3.8

Reescribe $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{- e^{- x}}$

Paso 2.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to - \infty} - \frac{2 x}{e^{- x}}$

Paso 3

Evalúa el límite.

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Paso 3.1

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$- lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{e^{- x}}$

Paso 3.2

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$- 2 lim_{x \to - \infty} \frac{x}{e^{- x}}$

Paso 4

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 4.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 4.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$- 2 \frac{lim_{x \to - \infty} x}{lim_{x \to - \infty} e^{- x}}$

Paso 4.1.2

El límite al infinito negativo de un polinomio de grado impar con coeficiente principal positivo es infinito negativo.

$- 2 \frac{- \infty}{lim_{x \to - \infty} e^{- x}}$

Paso 4.1.3

Como el exponente $- x$ se acerca a $\infty$ , la cantidad $e^{- x}$ se acerca a $\infty$ .

$- 2 \frac{- \infty}{\infty}$

Paso 4.1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$- 2 \frac{- \infty}{\infty}$

Paso 4.2

Como $\frac{- \infty}{\infty}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to - \infty} \frac{x}{e^{- x}} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}$

Paso 4.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 4.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$- 2 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}$

Paso 4.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}$

Paso 4.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x$ .

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Paso 4.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- x$ .

$- 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]}$

Paso 4.3.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$- 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{u} \frac{d}{d x} [- x]}$

Paso 4.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x$ .

$- 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]}$

Paso 4.3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x} \cdot - 1 \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 4.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x} \cdot - 1 \cdot 1}$

Paso 4.3.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x} \cdot - 1}$

Paso 4.3.7

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{- x}$ .

$- 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- 1 \cdot e^{- x}}$

Paso 4.3.8

Reescribe $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$- 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- e^{- x}}$

Paso 4.4

Cancela el factor común de $1$ y $- 1$ .

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Paso 4.4.1

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$- 2 lim_{x \to - \infty} \frac{- 1 (- 1)}{- e^{- x}}$

Paso 4.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- 2 lim_{x \to - \infty} - \frac{1}{e^{- x}}$

Paso 5

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$- 2 \cdot - 1 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x}}$

Paso 6

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{e^{- x}}$ se acerca a $0$ .

$- 2 \cdot - 1 \cdot 0$

Paso 7

Multiplica $- 2 \cdot - 1 \cdot 0$ .

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Paso 7.1

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$2 \cdot 0$

Paso 7.2

Multiplica $2$ por $0$ .

$0$