Cálculo Ejemplos

$lim_{t \to 0} \frac{\tan (4 t)}{\sin (2 t)}$

Paso 1

Aplica las identidades trigonométricas.

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Paso 1.1

Reescribe $\tan (4 t)$ en términos de senos y cosenos.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{\sin (4 t)}{\cos (4 t)}}{\sin (2 t)}$

Paso 1.2

Reescribe $\frac{\frac{\sin (4 t)}{\cos (4 t)}}{\sin (2 t)}$ como un producto.

$lim_{t \to 0} \frac{\sin (4 t)}{\cos (4 t)} \cdot \frac{1}{\sin (2 t)}$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Convierte de $\frac{\sin (4 t)}{\cos (4 t)}$ a $\tan (4 t)$ .

$lim_{t \to 0} \tan (4 t) \frac{1}{\sin (2 t)}$

Paso 1.3.2

Convierte de $\frac{1}{\sin (2 t)}$ a $\csc (2 t)$ .

$lim_{t \to 0} \tan (4 t) \csc (2 t)$

Paso 2

Considera el límite izquierdo.

$lim_{t \to 0^{-}} \tan (4 t) \csc (2 t)$

Paso 3

Haz una tabla para mostrar el comportamiento de la función $\tan (4 t) \csc (2 t)$ a medida que $t$ se acerca a $0$ desde la izquierda.

$\begin{array}{c} t & \tan (4 t) \csc (2 t) \\ - 0.1 & 2.12812524 \\ - 0.01 & 2.00120076 \\ - 0.001 & 2.000012 \\ - 0.0001 & 2.00000012 \end{array}$

Paso 4

A medida que los valores de $t$ se acercan a $0$ , los valores de la función se acercan a $2$ . Por lo tanto, el límite de $\tan (4 t) \csc (2 t)$ a medida que $t$ se acerca a $0$ desde la izquierda es $2$ .

$2$

Paso 5

Considera el límite derecho.

$lim_{t \to 0^{+}} \tan (4 t) \csc (2 t)$

Paso 6

Haz una tabla para mostrar el comportamiento de la función $\tan (4 t) \csc (2 t)$ a medida que $t$ se acerca a $0$ desde la derecha.

$\begin{array}{c} t & \tan (4 t) \csc (2 t) \\ 0.1 & 2.12812524 \\ 0.01 & 2.00120076 \\ 0.001 & 2.000012 \\ 0.0001 & 2.00000012 \end{array}$

Paso 7

A medida que los valores de $t$ se acercan a $0$ , los valores de la función se acercan a $2$ . Por lo tanto, el límite de $\tan (4 t) \csc (2 t)$ a medida que $t$ se acerca a $0$ desde la derecha es $2$ .

$2$