Cálculo Ejemplos

$lim_{t \to 0} \frac{\sqrt{t + 9} - 3}{t^{2}}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{t \to 0} \sqrt{t + 9} - 3}{lim_{t \to 0} t^{2}}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $t$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{t \to 0} \sqrt{t + 9} - lim_{t \to 0} 3}{lim_{t \to 0} t^{2}}$

Paso 1.1.2.1.2

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{\sqrt{lim_{t \to 0} t + 9} - lim_{t \to 0} 3}{lim_{t \to 0} t^{2}}$

Paso 1.1.2.1.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $t$ se aproxima a $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{t \to 0} t + lim_{t \to 0} 9} - lim_{t \to 0} 3}{lim_{t \to 0} t^{2}}$

Paso 1.1.2.1.4

Evalúa el límite de $9$ que es constante cuando $t$ se acerca a $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{t \to 0} t + 9} - lim_{t \to 0} 3}{lim_{t \to 0} t^{2}}$

Paso 1.1.2.1.5

Evalúa el límite de $3$ que es constante cuando $t$ se acerca a $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{t \to 0} t + 9} - 1 \cdot 3}{lim_{t \to 0} t^{2}}$

Paso 1.1.2.2

Evalúa el límite de $t$ mediante el ingreso de $0$ para $t$ .

$\frac{\sqrt{0 + 9} - 1 \cdot 3}{lim_{t \to 0} t^{2}}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.3.1.1

Suma $0$ y $9$ .

$\frac{\sqrt{9} - 1 \cdot 3}{lim_{t \to 0} t^{2}}$

Paso 1.1.2.3.1.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2}} - 1 \cdot 3}{lim_{t \to 0} t^{2}}$

Paso 1.1.2.3.1.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{3 - 1 \cdot 3}{lim_{t \to 0} t^{2}}$

Paso 1.1.2.3.1.4

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{3 - 3}{lim_{t \to 0} t^{2}}$

Paso 1.1.2.3.2

Resta $3$ de $3$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 0} t^{2}}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Mueve el exponente $2$ de $t^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{0}{{(lim_{t \to 0} t)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2

Evalúa el límite de $t$ mediante el ingreso de $0$ para $t$ .

$\frac{0}{0^{2}}$

Paso 1.1.3.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{t \to 0} \frac{\sqrt{t + 9} - 3}{t^{2}} = lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 9} - 3]}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 9} - 3]}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\sqrt{t + 9} - 3$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 9}] + \frac{d}{d t} [- 3]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 9}] + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

Paso 1.3.3

Evalúa $\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 9}]$ .

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Paso 1.3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{t + 9}$ como ${(t + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [{(t + 9)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

Paso 1.3.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ y $g (t) = t + 9$ .

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Paso 1.3.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $t + 9$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [t + 9] + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

Paso 1.3.3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t + 9] + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

Paso 1.3.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $t + 9$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(t + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t + 9] + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

Paso 1.3.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $t + 9$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [9]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(t + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [9]) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

Paso 1.3.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(t + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d t} [9]) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

Paso 1.3.3.5

Como $9$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $9$ con respecto a $t$ es $0$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(t + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

Paso 1.3.3.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(t + 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

Paso 1.3.3.7

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(t + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

Paso 1.3.3.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(t + 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

Paso 1.3.3.9

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.3.9.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(t + 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

Paso 1.3.3.9.2

Resta $2$ de $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(t + 9)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

Paso 1.3.3.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(t + 9)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

Paso 1.3.3.11

Suma $1$ y $0$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(t + 9)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

Paso 1.3.3.12

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(t + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{{(t + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

Paso 1.3.3.13

Multiplica $\frac{{(t + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ por $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{{(t + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

Paso 1.3.3.14

Mueve ${(t + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- 3]}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

Paso 1.3.4

Como $- 3$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $t$ es $0$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

Paso 1.3.5

Suma $\frac{1}{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ y $0$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [t^{2}]}$

Paso 1.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{2 t}$

Paso 1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{t \to 0} \frac{1}{2 {(t + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 t}$

Paso 1.5

Reescribe ${(t + 9)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{t + 9}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{t + 9}} \cdot \frac{1}{2 t}$

Paso 1.6

Combina factores.

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Paso 1.6.1

Multiplica $\frac{1}{2 \sqrt{t + 9}}$ por $\frac{1}{2 t}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{t + 9} (2 t)}$

Paso 1.6.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$lim_{t \to 0} \frac{1}{4 \sqrt{t + 9} t}$

Paso 2

Como la función se acerca a $- \infty$ desde la izquierda y a $\infty$ desde la derecha, el límite no existe.

$No existe$