Cálculo Ejemplos

$lim_{t \to 0} \frac{e^{t} - 1}{t^{7}}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{t \to 0} e^{t} - 1}{lim_{t \to 0} t^{7}}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $t$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{t \to 0} e^{t} - lim_{t \to 0} 1}{lim_{t \to 0} t^{7}}$

Paso 1.1.2.1.2

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{e^{lim_{t \to 0} t} - lim_{t \to 0} 1}{lim_{t \to 0} t^{7}}$

Paso 1.1.2.1.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $t$ se acerca a $0$ .

$\frac{e^{lim_{t \to 0} t} - 1 \cdot 1}{lim_{t \to 0} t^{7}}$

Paso 1.1.2.2

Evalúa el límite de $t$ mediante el ingreso de $0$ para $t$ .

$\frac{e^{0} - 1 \cdot 1}{lim_{t \to 0} t^{7}}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.3.1.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{t \to 0} t^{7}}$

Paso 1.1.2.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{t \to 0} t^{7}}$

Paso 1.1.2.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 0} t^{7}}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Mueve el exponente $7$ de $t^{7}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{0}{{(lim_{t \to 0} t)}^{7}}$

Paso 1.1.3.2

Evalúa el límite de $t$ mediante el ingreso de $0$ para $t$ .

$\frac{0}{0^{7}}$

Paso 1.1.3.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{t \to 0} \frac{e^{t} - 1}{t^{7}} = lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [e^{t} - 1]}{\frac{d}{d t} [t^{7}]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [e^{t} - 1]}{\frac{d}{d t} [t^{7}]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{t} - 1$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [e^{t}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [e^{t}] + \frac{d}{d t} [- 1]}{\frac{d}{d t} [t^{7}]}$

Paso 1.3.3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ es $a^{t} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$lim_{t \to 0} \frac{e^{t} + \frac{d}{d t} [- 1]}{\frac{d}{d t} [t^{7}]}$

Paso 1.3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$lim_{t \to 0} \frac{e^{t} + 0}{\frac{d}{d t} [t^{7}]}$

Paso 1.3.5

Suma $e^{t}$ y $0$ .

$lim_{t \to 0} \frac{e^{t}}{\frac{d}{d t} [t^{7}]}$

Paso 1.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 7$ .

$lim_{t \to 0} \frac{e^{t}}{7 t^{6}}$

Paso 2

Como el numerador es positivo y el denominador $7 t^{6}$ se acerca a cero y es mayor que cero para $t$ cerca de $0$ en ambos lados, la función aumenta sin cota.

$\infty$