Cálculo Ejemplos

$lim_{t \to 0} \frac{\sin (4 t)}{t \cos (t)}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{t \to 0} \sin (4 t)}{lim_{t \to 0} t \cos (t)}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.2.1.1

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{\sin (lim_{t \to 0} 4 t)}{lim_{t \to 0} t \cos (t)}$

Paso 1.1.2.1.2

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $t$ .

$\frac{\sin (4 lim_{t \to 0} t)}{lim_{t \to 0} t \cos (t)}$

Paso 1.1.2.2

Evalúa el límite de $t$ mediante el ingreso de $0$ para $t$ .

$\frac{\sin (4 \cdot 0)}{lim_{t \to 0} t \cos (t)}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.3.1

Multiplica $4$ por $0$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{t \to 0} t \cos (t)}$

Paso 1.1.2.3.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 0} t \cos (t)}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $t$ se aproxima a $0$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 0} t \cdot lim_{t \to 0} \cos (t)}$

Paso 1.1.3.2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{0}{lim_{t \to 0} t \cdot \cos (lim_{t \to 0} t)}$

Paso 1.1.3.3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $t$ .

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Paso 1.1.3.3.1

Evalúa el límite de $t$ mediante el ingreso de $0$ para $t$ .

$\frac{0}{0 \cdot \cos (lim_{t \to 0} t)}$

Paso 1.1.3.3.2

Evalúa el límite de $t$ mediante el ingreso de $0$ para $t$ .

$\frac{0}{0 \cdot \cos (0)}$

Paso 1.1.3.4

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.3.4.1

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot 1}$

Paso 1.1.3.4.2

Multiplica $0$ por $1$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.4.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.5

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{t \to 0} \frac{\sin (4 t)}{t \cos (t)} = lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\sin (4 t)]}{\frac{d}{d t} [t \cos (t)]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\sin (4 t)]}{\frac{d}{d t} [t \cos (t)]}$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = \sin (t)$ y $g (t) = 4 t$ .

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Paso 1.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $4 t$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d t} [4 t]}{\frac{d}{d t} [t \cos (t)]}$

Paso 1.3.2.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d t} [4 t]}{\frac{d}{d t} [t \cos (t)]}$

Paso 1.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 t$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (4 t) \frac{d}{d t} [4 t]}{\frac{d}{d t} [t \cos (t)]}$

Paso 1.3.3

Como $4$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $4 t$ con respecto a $t$ es $4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (4 t) (4 \frac{d}{d t} [t])}{\frac{d}{d t} [t \cos (t)]}$

Paso 1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (4 t) (4 \cdot 1)}{\frac{d}{d t} [t \cos (t)]}$

Paso 1.3.5

Multiplica $4$ por $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (4 t) \cdot 4}{\frac{d}{d t} [t \cos (t)]}$

Paso 1.3.6

Mueve $4$ a la izquierda de $\cos (4 t)$ .

$lim_{t \to 0} \frac{4 \cdot \cos (4 t)}{\frac{d}{d t} [t \cos (t)]}$

Paso 1.3.7

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ es $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ donde $f (t) = t$ y $g (t) = \cos (t)$ .

$lim_{t \to 0} \frac{4 \cos (4 t)}{t \frac{d}{d t} [\cos (t)] + \cos (t) \frac{d}{d t} [t]}$

Paso 1.3.8

La derivada de $\cos (t)$ con respecto a $t$ es $- \sin (t)$ .

$lim_{t \to 0} \frac{4 \cos (4 t)}{t (- \sin (t)) + \cos (t) \frac{d}{d t} [t]}$

Paso 1.3.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{4 \cos (4 t)}{t (- \sin (t)) + \cos (t) \cdot 1}$

Paso 1.3.10

Multiplica $\cos (t)$ por $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{4 \cos (4 t)}{t (- \sin (t)) + \cos (t)}$

Paso 1.3.11

Reordena los términos.

$lim_{t \to 0} \frac{4 \cos (4 t)}{- t \sin (t) + \cos (t)}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $t$ .

$4 lim_{t \to 0} \frac{\cos (4 t)}{- t \sin (t) + \cos (t)}$

Paso 2.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $t$ se aproxima a $0$ .

$4 \frac{lim_{t \to 0} \cos (4 t)}{lim_{t \to 0} - t \sin (t) + \cos (t)}$

Paso 2.3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$4 \frac{\cos (lim_{t \to 0} 4 t)}{lim_{t \to 0} - t \sin (t) + \cos (t)}$

Paso 2.4

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $t$ .

$4 \frac{\cos (4 lim_{t \to 0} t)}{lim_{t \to 0} - t \sin (t) + \cos (t)}$

Paso 2.5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $t$ se aproxima a $0$ .

$4 \frac{\cos (4 lim_{t \to 0} t)}{- lim_{t \to 0} t \sin (t) + lim_{t \to 0} \cos (t)}$

Paso 2.6

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $t$ se aproxima a $0$ .

$4 \frac{\cos (4 lim_{t \to 0} t)}{- lim_{t \to 0} t \cdot lim_{t \to 0} \sin (t) + lim_{t \to 0} \cos (t)}$

Paso 2.7

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$4 \frac{\cos (4 lim_{t \to 0} t)}{- lim_{t \to 0} t \cdot \sin (lim_{t \to 0} t) + lim_{t \to 0} \cos (t)}$

Paso 2.8

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$4 \frac{\cos (4 lim_{t \to 0} t)}{- lim_{t \to 0} t \cdot \sin (lim_{t \to 0} t) + \cos (lim_{t \to 0} t)}$

Paso 3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $t$ .

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Paso 3.1

Evalúa el límite de $t$ mediante el ingreso de $0$ para $t$ .

$4 \frac{\cos (4 \cdot 0)}{- lim_{t \to 0} t \cdot \sin (lim_{t \to 0} t) + \cos (lim_{t \to 0} t)}$

Paso 3.2

Evalúa el límite de $t$ mediante el ingreso de $0$ para $t$ .

$4 \frac{\cos (4 \cdot 0)}{0 \cdot \sin (lim_{t \to 0} t) + \cos (lim_{t \to 0} t)}$

Paso 3.3

Evalúa el límite de $t$ mediante el ingreso de $0$ para $t$ .

$4 \frac{\cos (4 \cdot 0)}{0 \cdot \sin (0) + \cos (lim_{t \to 0} t)}$

Paso 3.4

Evalúa el límite de $t$ mediante el ingreso de $0$ para $t$ .

$4 \frac{\cos (4 \cdot 0)}{0 \cdot \sin (0) + \cos (0)}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Multiplica $4$ por $0$ .

$4 \frac{\cos (0)}{0 \cdot \sin (0) + \cos (0)}$

Paso 4.1.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$4 \frac{1}{0 \cdot \sin (0) + \cos (0)}$

Paso 4.2

Simplifica el denominador.

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Paso 4.2.1

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$4 \frac{1}{0 \cdot 0 + \cos (0)}$

Paso 4.2.2

Multiplica $0$ por $0$ .

$4 \frac{1}{0 + \cos (0)}$

Paso 4.2.3

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$4 \frac{1}{0 + 1}$

Paso 4.2.4

Suma $0$ y $1$ .

$4 (\frac{1}{1})$

Paso 4.3

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 4.3.1

Cancela el factor común.

$4 (\frac{1}{1})$

Paso 4.3.2

Reescribe la expresión.

$4 \cdot 1$

Paso 4.4

Multiplica $4$ por $1$ .

$4$