Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{5 x^{2} - 2}}{x + 3}$

Paso 1

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $- \sqrt{x^{2}} = x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 2}{x^{2}}}}{\frac{x}{x} + \frac{3}{x}}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Cancela el factor común de $x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 2}{x^{2}}}}{1 + \frac{3}{x}}$

Paso 2.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 2}{x^{2}}}}{1 + \frac{3}{x}}$

Paso 2.2.1.2

Divide $5$ por $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{5 + \frac{- 2}{x^{2}}}}{1 + \frac{3}{x}}$

Paso 2.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{5 - \frac{2}{x^{2}}}}{1 + \frac{3}{x}}$

Paso 2.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{5 - \frac{2}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Paso 2.4

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{5 - \frac{2}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Paso 2.5

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 5 - \frac{2}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Paso 2.6

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 5 - lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Paso 2.7

Evalúa el límite de $5$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{5 - lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Paso 2.8

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{- \sqrt{5 - 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Paso 3

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{2}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{- \sqrt{5 - 2 \cdot 0}}{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{3}{x}}$

Paso 4

Evalúa el límite.

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Paso 4.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{5 - 2 \cdot 0}}{lim_{x \to - \infty} 1 + lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x}}$

Paso 4.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{5 - 2 \cdot 0}}{1 + lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x}}$

Paso 4.3

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{- \sqrt{5 - 2 \cdot 0}}{1 + 3 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}$

Paso 5

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{- \sqrt{5 - 2 \cdot 0}}{1 + 3 \cdot 0}$

Paso 6

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1.1

Multiplica $- 2$ por $0$ .

$\frac{- \sqrt{5 + 0}}{1 + 3 \cdot 0}$

Paso 6.1.2

Suma $5$ y $0$ .

$\frac{- \sqrt{5}}{1 + 3 \cdot 0}$

Paso 6.2

Simplifica el denominador.

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Paso 6.2.1

Multiplica $3$ por $0$ .

$\frac{- \sqrt{5}}{1 + 0}$

Paso 6.2.2

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{- \sqrt{5}}{1}$

Paso 6.3

Divide $- \sqrt{5}$ por $1$ .

$- \sqrt{5}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \sqrt{5}$

Forma decimal:

$- 2.23606797 \dots$