Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{1 - e^{- x}}{e^{x} - 1}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - e^{- x}}{lim_{x \to 0} e^{x} - 1}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} e^{- x}}{lim_{x \to 0} e^{x} - 1}$

Paso 1.1.2.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{1 - lim_{x \to 0} e^{- x}}{lim_{x \to 0} e^{x} - 1}$

Paso 1.1.2.3

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{1 - e^{lim_{x \to 0} - x}}{lim_{x \to 0} e^{x} - 1}$

Paso 1.1.2.4

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1 - e^{- lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} e^{x} - 1}$

Paso 1.1.2.5

Simplifica los términos.

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Paso 1.1.2.5.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1 - e^{0}}{lim_{x \to 0} e^{x} - 1}$

Paso 1.1.2.5.2

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.5.2.1.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} e^{x} - 1}$

Paso 1.1.2.5.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} e^{x} - 1}$

Paso 1.1.2.5.2.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} e^{x} - 1}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} e^{x} - lim_{x \to 0} 1}$

Paso 1.1.3.1.2

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{0}{e^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}$

Paso 1.1.3.1.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{0}{e^{lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}$

Paso 1.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{e^{0} - 1 \cdot 1}$

Paso 1.1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.3.1.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Paso 1.1.3.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Paso 1.1.3.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{1 - e^{- x}}{e^{x} - 1} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - e^{- x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

Paso 1.3.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

Paso 1.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

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Paso 1.3.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- e^{- x}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [e^{- x}]}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

Paso 1.3.4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x$ .

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Paso 1.3.4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

Paso 1.3.4.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

Paso 1.3.4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

Paso 1.3.4.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

Paso 1.3.4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (e^{- x} (- 1 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

Paso 1.3.4.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (e^{- x} \cdot - 1)}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

Paso 1.3.4.6

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{- x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- 1 \cdot e^{- x})}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

Paso 1.3.4.7

Reescribe $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - - e^{- x}}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

Paso 1.3.4.8

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 1 e^{- x}}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

Paso 1.3.4.9

Multiplica $e^{- x}$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + e^{- x}}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

Paso 1.3.5

Suma $0$ y $e^{- x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x}}{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}$

Paso 1.3.6

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{x} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x}}{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 1.3.7

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x}}{e^{x} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 1.3.8

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x}}{e^{x} + 0}$

Paso 1.3.9

Suma $e^{x}$ y $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x}}{e^{x}}$

Paso 1.4

Cancela el factor común de $e^{- x}$ y $e^{x}$ .

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Paso 1.4.1

Factoriza $e^{x}$ de $e^{- x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} e^{- 2 x}}{e^{x}}$

Paso 1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.4.2.1

Multiplica por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} e^{- 2 x}}{e^{x} \cdot 1}$

Paso 1.4.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} e^{- 2 x}}{e^{x} \cdot 1}$

Paso 1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- 2 x}}{1}$

Paso 1.4.2.4

Divide $e^{- 2 x}$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} e^{- 2 x}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Mueve el límite dentro del exponente.

$e^{lim_{x \to 0} - 2 x}$

Paso 2.2

Mueve el término $- 2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0} x}$

Paso 3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$e^{- 2 \cdot 0}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Multiplica $- 2$ por $0$ .

$e^{0}$

Paso 4.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$1$