Cálculo Ejemplos

$\frac{lim_{x \to 8} 3 \sqrt{x^{3}} + 3 x}{\sqrt{2 x^{3}}}$

Paso 1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 3 \sqrt{x^{3}} + lim_{x \to 8} 3 x}{\sqrt{2 x^{3}}}$

Paso 2

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to 8} \sqrt{x^{3}} + lim_{x \to 8} 3 x}{\sqrt{2 x^{3}}}$

Paso 3

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{3 \sqrt{lim_{x \to 8} x^{3}} + lim_{x \to 8} 3 x}{\sqrt{2 x^{3}}}$

Paso 4

Mueve el exponente $3$ de $x^{3}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{3 \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{3}} + lim_{x \to 8} 3 x}{\sqrt{2 x^{3}}}$

Paso 5

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{3 \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{3}} + 3 lim_{x \to 8} x}{\sqrt{2 x^{3}}}$

Paso 6

Evalúa los límites mediante el ingreso de $8$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 6.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{3 \sqrt{8^{3}} + 3 lim_{x \to 8} x}{\sqrt{2 x^{3}}}$

Paso 6.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$\frac{3 \sqrt{8^{3}} + 3 \cdot 8}{\sqrt{2 x^{3}}}$

Paso 7

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1.1

Eleva $8$ a la potencia de $3$ .

$\frac{3 \sqrt{512} + 3 \cdot 8}{\sqrt{2 x^{3}}}$

Paso 7.1.2

Reescribe $512$ como $16^{2} \cdot 2$ .

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Paso 7.1.2.1

Factoriza $256$ de $512$ .

$\frac{3 \sqrt{256 (2)} + 3 \cdot 8}{\sqrt{2 x^{3}}}$

Paso 7.1.2.2

Reescribe $256$ como $16^{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{16^{2} \cdot 2} + 3 \cdot 8}{\sqrt{2 x^{3}}}$

Paso 7.1.3

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{3 (16 \sqrt{2}) + 3 \cdot 8}{\sqrt{2 x^{3}}}$

Paso 7.1.4

Multiplica $16$ por $3$ .

$\frac{48 \sqrt{2} + 3 \cdot 8}{\sqrt{2 x^{3}}}$

Paso 7.1.5

Multiplica $3$ por $8$ .

$\frac{48 \sqrt{2} + 24}{\sqrt{2 x^{3}}}$

Paso 7.2

Simplifica el denominador.

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Paso 7.2.1

Reescribe $2 x^{3}$ como $x^{2} \cdot (2 x)$ .

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Paso 7.2.1.1

Factoriza $x^{2}$ .

$\frac{48 \sqrt{2} + 24}{\sqrt{2 (x^{2} x)}}$

Paso 7.2.1.2

Reordena $2$ y $x^{2}$ .

$\frac{48 \sqrt{2} + 24}{\sqrt{x^{2} \cdot 2 x}}$

Paso 7.2.1.3

Agrega paréntesis.

$\frac{48 \sqrt{2} + 24}{\sqrt{x^{2} \cdot (2 x)}}$

Paso 7.2.2

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{48 \sqrt{2} + 24}{x \sqrt{2 x}}$

Paso 7.3

Multiplica $\frac{48 \sqrt{2} + 24}{x \sqrt{2 x}}$ por $\frac{\sqrt{2 x}}{\sqrt{2 x}}$ .

$\frac{48 \sqrt{2} + 24}{x \sqrt{2 x}} \cdot \frac{\sqrt{2 x}}{\sqrt{2 x}}$

Paso 7.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 7.4.1

Multiplica $\frac{48 \sqrt{2} + 24}{x \sqrt{2 x}}$ por $\frac{\sqrt{2 x}}{\sqrt{2 x}}$ .

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x \sqrt{2 x} \sqrt{2 x}}$

Paso 7.4.2

Mueve $\sqrt{2 x}$ .

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x (\sqrt{2 x} \sqrt{2 x})}$

Paso 7.4.3

Eleva $\sqrt{2 x}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x ({\sqrt{2 x}}^{1} \sqrt{2 x})}$

Paso 7.4.4

Eleva $\sqrt{2 x}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x ({\sqrt{2 x}}^{1} {\sqrt{2 x}}^{1})}$

Paso 7.4.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x {\sqrt{2 x}}^{1 + 1}}$

Paso 7.4.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x {\sqrt{2 x}}^{2}}$

Paso 7.4.7

Reescribe ${\sqrt{2 x}}^{2}$ como $2 x$ .

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Paso 7.4.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2 x}$ como ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x {({(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 7.4.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x {(2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 7.4.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x {(2 x)}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 7.4.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.4.7.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x {(2 x)}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 7.4.7.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x {(2 x)}^{1}}$

Paso 7.4.7.5

Simplifica.

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x (2 x)}$

Paso 7.5

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 7.5.1

Mueve $x$ .

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x \cdot x \cdot 2}$

Paso 7.5.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}}{x^{2} \cdot 2}$

Paso 7.6

Cancela el factor común de $48 \sqrt{2} + 24$ y $2$ .

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Paso 7.6.1

Factoriza $2$ de $(48 \sqrt{2} + 24) \sqrt{2 x}$ .

$\frac{2 ((24 \sqrt{2} + 12) \sqrt{2 x})}{x^{2} \cdot 2}$

Paso 7.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.6.2.1

Factoriza $2$ de $x^{2} \cdot 2$ .

$\frac{2 ((24 \sqrt{2} + 12) \sqrt{2 x})}{2 \cdot x^{2}}$

Paso 7.6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 ((24 \sqrt{2} + 12) \sqrt{2 x})}{2 \cdot x^{2}}$

Paso 7.6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{(24 \sqrt{2} + 12) \sqrt{2 x}}{x^{2}}$

Paso 7.7

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{24 \sqrt{2} \sqrt{2 x} + 12 \sqrt{2 x}}{x^{2}}$

Paso 7.8

Multiplica $24 \sqrt{2} \sqrt{2 x}$ .

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Paso 7.8.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{24 \sqrt{2 x \cdot 2} + 12 \sqrt{2 x}}{x^{2}}$

Paso 7.8.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{24 \sqrt{4 x} + 12 \sqrt{2 x}}{x^{2}}$

Paso 7.9

Simplifica cada término.

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Paso 7.9.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{24 \sqrt{2^{2} x} + 12 \sqrt{2 x}}{x^{2}}$

Paso 7.9.2

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{24 (2 \sqrt{x}) + 12 \sqrt{2 x}}{x^{2}}$

Paso 7.9.3

Multiplica $2$ por $24$ .

$\frac{48 \sqrt{x} + 12 \sqrt{2 x}}{x^{2}}$

Paso 7.10

Simplifica el numerador.

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Paso 7.10.1

Factoriza $12$ de $48 \sqrt{x} + 12 \sqrt{2 x}$ .

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Paso 7.10.1.1

Factoriza $12$ de $48 \sqrt{x}$ .

$\frac{12 (4 \sqrt{x}) + 12 \sqrt{2 x}}{x^{2}}$

Paso 7.10.1.2

Factoriza $12$ de $12 \sqrt{2 x}$ .

$\frac{12 (4 \sqrt{x}) + 12 (\sqrt{2 x})}{x^{2}}$

Paso 7.10.1.3

Factoriza $12$ de $12 (4 \sqrt{x}) + 12 (\sqrt{2 x})$ .

$\frac{12 (4 \sqrt{x} + \sqrt{2 x})}{x^{2}}$

Paso 7.10.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{12 (4 x^{\frac{1}{2}} + \sqrt{2 x})}{x^{2}}$

Paso 7.10.3

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2 x}$ como ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{12 (4 x^{\frac{1}{2}} + {(2 x)}^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Paso 7.10.4

Aplica la regla del producto a $2 x$ .

$\frac{12 (4 x^{\frac{1}{2}} + 2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Paso 7.10.5

Factoriza $x^{\frac{1}{2}}$ de $4 x^{\frac{1}{2}} + 2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 7.10.5.1

Factoriza $x^{\frac{1}{2}}$ de $4 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{12 (x^{\frac{1}{2}} \cdot 4 + 2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Paso 7.10.5.2

Factoriza $x^{\frac{1}{2}}$ de $2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{12 (x^{\frac{1}{2}} \cdot 4 + x^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Paso 7.10.5.3

Factoriza $x^{\frac{1}{2}}$ de $x^{\frac{1}{2}} \cdot 4 + x^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{12 (x^{\frac{1}{2}} (4 + 2^{\frac{1}{2}}))}{x^{2}}$

$\frac{12 x^{\frac{1}{2}} (4 + 2^{\frac{1}{2}})}{x^{2}}$

Paso 7.11

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{12 (4 + 2^{\frac{1}{2}})}{x^{2} x^{- \frac{1}{2}}}$

Paso 7.12

Multiplica $x^{2}$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 7.12.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{12 (4 + 2^{\frac{1}{2}})}{x^{2 - \frac{1}{2}}}$

Paso 7.12.2

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{12 (4 + 2^{\frac{1}{2}})}{x^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}$

Paso 7.12.3

Combina $2$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{12 (4 + 2^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}}$

Paso 7.12.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{12 (4 + 2^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}}}$

Paso 7.12.5

Simplifica el numerador.

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Paso 7.12.5.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{12 (4 + 2^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{4 - 1}{2}}}$

Paso 7.12.5.2

Resta $1$ de $4$ .

$\frac{12 (4 + 2^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{3}{2}}}$