Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 6} - \frac{1}{6}}{x}$

Paso 1

Combina los términos.

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Paso 1.1

Para escribir $\frac{1}{x + 6}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 6} \cdot \frac{6}{6} - \frac{1}{6}}{x}$

Paso 1.2

Para escribir $- \frac{1}{6}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + 6}{x + 6}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 6} \cdot \frac{6}{6} - \frac{1}{6} \cdot \frac{x + 6}{x + 6}}{x}$

Paso 1.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x + 6) \cdot 6$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 1.3.1

Multiplica $\frac{1}{x + 6}$ por $\frac{6}{6}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{6}{(x + 6) \cdot 6} - \frac{1}{6} \cdot \frac{x + 6}{x + 6}}{x}$

Paso 1.3.2

Multiplica $\frac{1}{6}$ por $\frac{x + 6}{x + 6}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{6}{(x + 6) \cdot 6} - \frac{x + 6}{6 (x + 6)}}{x}$

Paso 1.3.3

Reordena los factores de $(x + 6) \cdot 6$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{6}{6 (x + 6)} - \frac{x + 6}{6 (x + 6)}}{x}$

Paso 1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{6 - (x + 6)}{6 (x + 6)}}{x}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Simplifica el argumento de límite.

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Paso 2.1.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{6 - (x + 6)}{6 (x + 6)} \cdot \frac{1}{x}$

Paso 2.1.2

Multiplica $\frac{6 - (x + 6)}{6 (x + 6)}$ por $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 - (x + 6)}{6 (x + 6) x}$

Paso 2.2

Mueve el término $\frac{1}{6}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{6 - (x + 6)}{(x + 6) x}$

Paso 3

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 3.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 3.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 6 - (x + 6)}{lim_{x \to 0} (x + 6) x}$

Paso 3.1.2

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 3.1.2.1

Evalúa el límite de $6 - (x + 6)$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{6 - (0 + 6)}{lim_{x \to 0} (x + 6) x}$

Paso 3.1.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.2.1

Suma $0$ y $6$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{6 - 1 \cdot 6}{lim_{x \to 0} (x + 6) x}$

Paso 3.1.2.2.2

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{6 - 6}{lim_{x \to 0} (x + 6) x}$

Paso 3.1.2.3

Resta $6$ de $6$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} (x + 6) x}$

Paso 3.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 3.1.3.1

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x + 6 \cdot lim_{x \to 0} x}$

Paso 3.1.3.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0}{(lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 6) \cdot lim_{x \to 0} x}$

Paso 3.1.3.3

Evalúa el límite de $6$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0}{(lim_{x \to 0} x + 6) \cdot lim_{x \to 0} x}$

Paso 3.1.3.4

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 3.1.3.4.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0}{(0 + 6) \cdot lim_{x \to 0} x}$

Paso 3.1.3.4.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0}{(0 + 6) \cdot 0}$

Paso 3.1.3.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.1.3.5.1

Suma $0$ y $6$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0}{6 \cdot 0}$

Paso 3.1.3.5.2

Multiplica $6$ por $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 3.1.3.5.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 3.1.3.6

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 3.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 3.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{6 - (x + 6)}{(x + 6) x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [6 - (x + 6)]}{\frac{d}{d x} [(x + 6) x]}$

Paso 3.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [6 - (x + 6)]}{\frac{d}{d x} [(x + 6) x]}$

Paso 3.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $6 - (x + 6)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- (x + 6)]$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- (x + 6)]}{\frac{d}{d x} [(x + 6) x]}$

Paso 3.3.3

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- (x + 6)]}{\frac{d}{d x} [(x + 6) x]}$

Paso 3.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- (x + 6)]$ .

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Paso 3.3.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- (x + 6)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x + 6]$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [x + 6]}{\frac{d}{d x} [(x + 6) x]}$

Paso 3.3.4.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 6$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6])}{\frac{d}{d x} [(x + 6) x]}$

Paso 3.3.4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{0 - (1 + \frac{d}{d x} [6])}{\frac{d}{d x} [(x + 6) x]}$

Paso 3.3.4.4

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{0 - (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [(x + 6) x]}$

Paso 3.3.4.5

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{0 - 1 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [(x + 6) x]}$

Paso 3.3.4.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{0 - 1}{\frac{d}{d x} [(x + 6) x]}$

Paso 3.3.5

Resta $1$ de $0$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [(x + 6) x]}$

Paso 3.3.6

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x + 6$ y $g (x) = x$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{(x + 6) \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [x + 6]}$

Paso 3.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{(x + 6) \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [x + 6]}$

Paso 3.3.8

Multiplica $x + 6$ por $1$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{x + 6 + x \frac{d}{d x} [x + 6]}$

Paso 3.3.9

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 6$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{x + 6 + x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6])}$

Paso 3.3.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{x + 6 + x (1 + \frac{d}{d x} [6])}$

Paso 3.3.11

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{x + 6 + x (1 + 0)}$

Paso 3.3.12

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{x + 6 + x \cdot 1}$

Paso 3.3.13

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{x + 6 + x}$

Paso 3.3.14

Suma $x$ y $x$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{2 x + 6}$

Paso 4

Evalúa el límite.

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Paso 4.1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{lim_{x \to 0} - 1}{lim_{x \to 0} 2 x + 6}$

Paso 4.2

Evalúa el límite de $- 1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{- 1}{lim_{x \to 0} 2 x + 6}$

Paso 4.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{- 1}{lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 6}$

Paso 4.4

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{- 1}{2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 6}$

Paso 4.5

Evalúa el límite de $6$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{- 1}{2 lim_{x \to 0} x + 6}$

Paso 5

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{- 1}{2 \cdot 0 + 6}$

Paso 6

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.1

Simplifica el denominador.

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Paso 6.1.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{- 1}{0 + 6}$

Paso 6.1.2

Suma $0$ y $6$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{- 1}{6}$

Paso 6.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{6} (- \frac{1}{6})$

Paso 6.3

Multiplica $\frac{1}{6} (- \frac{1}{6})$ .

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Paso 6.3.1

Multiplica $\frac{1}{6}$ por $\frac{1}{6}$ .

$- \frac{1}{6 \cdot 6}$

Paso 6.3.2

Multiplica $6$ por $6$ .

$- \frac{1}{36}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{1}{36}$

Forma decimal:

$- 0.02\overline{7}$