Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{3}} - 1}{x}$

Paso 1

Reescribe ${(1 + 2 x)}^{\frac{1}{3}}$ como $\sqrt[3]{1 + 2 x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[3]{1 + 2 x} - 1}{x}$

Paso 2

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 2.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 2.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt[3]{1 + 2 x} - 1}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 2.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 2.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt[3]{1 + 2 x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.1.2

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to 0} 1 + 2 x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.1.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} 2 x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.1.4

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{\sqrt[3]{1 + lim_{x \to 0} 2 x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.1.5

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{1 + 2 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.1.6

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{\sqrt[3]{1 + 2 lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{1 + 2 \cdot 0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.3.1.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{\sqrt[3]{1 + 0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.3.1.2

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{\sqrt[3]{1} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.3.1.3

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.3.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 2.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[3]{1 + 2 x} - 1}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{1 + 2 x} - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 2.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{1 + 2 x} - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\sqrt[3]{1 + 2 x} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{1 + 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{1 + 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{1 + 2 x}]$ .

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Paso 2.3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{1 + 2 x}$ como ${(1 + 2 x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ y $g (x) = 1 + 2 x$ .

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Paso 2.3.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $1 + 2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [1 + 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [1 + 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 + 2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [1 + 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + 2 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.3.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{3} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.3.5

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{3} - 1} (0 + 2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{3} - 1} (0 + 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.3.7

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (0 + 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.3.8

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (0 + 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.3.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3} {(1 + 2 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (0 + 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.3.10

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.3.10.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3} {(1 + 2 x)}^{\frac{1 - 3}{3}} (0 + 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.3.10.2

Resta $3$ de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3} {(1 + 2 x)}^{\frac{- 2}{3}} (0 + 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.3.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3} {(1 + 2 x)}^{- \frac{2}{3}} (0 + 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.3.12

Multiplica $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3} {(1 + 2 x)}^{- \frac{2}{3}} (0 + 2) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.3.13

Suma $0$ y $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3} {(1 + 2 x)}^{- \frac{2}{3}} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.3.14

Combina $\frac{1}{3}$ y ${(1 + 2 x)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{{(1 + 2 x)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.3.15

Combina $\frac{{(1 + 2 x)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ y $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{{(1 + 2 x)}^{- \frac{2}{3}} \cdot 2}{3} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.3.16

Mueve $2$ a la izquierda de ${(1 + 2 x)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 \cdot {(1 + 2 x)}^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.3.17

Mueve ${(1 + 2 x)}^{- \frac{2}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{3 {(1 + 2 x)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{3 {(1 + 2 x)}^{\frac{2}{3}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.5

Suma $\frac{2}{3 {(1 + 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$ y $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{3 {(1 + 2 x)}^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{3 {(1 + 2 x)}^{\frac{2}{3}}}}{1}$

Paso 2.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{2}{3 {(1 + 2 x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 1$

Paso 2.5

Multiplica $\frac{2}{3 {(1 + 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2}{3 {(1 + 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3

Evalúa el límite.

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Paso 3.1

Mueve el término $\frac{2}{3}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{2}{3} lim_{x \to 0} \frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} {(1 + 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} {(1 + 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.4

Mueve el exponente $\frac{2}{3}$ de ${(1 + 2 x)}^{\frac{2}{3}}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{{(lim_{x \to 0} 1 + 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{{(lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.6

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{{(1 + lim_{x \to 0} 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3.7

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{{(1 + 2 lim_{x \to 0} x)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 4

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{{(1 + 2 \cdot 0)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 5

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1

Combinar.

$\frac{2 \cdot 1}{3 {(1 + 2 \cdot 0)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{2}{3 {(1 + 2 \cdot 0)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 5.3

Simplifica el denominador.

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Paso 5.3.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{2}{3 {(1 + 0)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 5.3.2

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{2}{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}$

Paso 5.3.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{2}{3 \cdot 1}$

Paso 5.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{2}{3}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{2}{3}$

Forma decimal:

$0.\overline{6}$