Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} {\cos (x)}^{\frac{1}{x}}$

Paso 1

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar el límite.

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Paso 1.1

Reescribe ${\cos (x)}^{\frac{1}{x}}$ como $e^{\ln ({\cos (x)}^{\frac{1}{x}})}$ .

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({\cos (x)}^{\frac{1}{x}})}$

Paso 1.2

Expande $\ln ({\cos (x)}^{\frac{1}{x}})$ ; para ello, mueve $\frac{1}{x}$ fuera del logaritmo.

$lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{x} \ln (\cos (x))}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Mueve el límite dentro del exponente.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \ln (\cos (x))}$

Paso 2.2

Combina $\frac{1}{x}$ y $\ln (\cos (x))$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\ln (\cos (x))}{x}}$

Paso 3

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 3.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 3.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$e^{\frac{lim_{x \to 0} \ln (\cos (x))}{lim_{x \to 0} x}}$

Paso 3.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 3.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 3.1.2.1.1

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0} \cos (x))}{lim_{x \to 0} x}}$

Paso 3.1.2.1.2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$e^{\frac{\ln (\cos (lim_{x \to 0} x))}{lim_{x \to 0} x}}$

Paso 3.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$e^{\frac{\ln (\cos (0))}{lim_{x \to 0} x}}$

Paso 3.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.1.2.3.1

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0} x}}$

Paso 3.1.2.3.2

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 0} x}}$

Paso 3.1.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$e^{\frac{0}{0}}$

Paso 3.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$e^{\frac{0}{0}}$

Paso 3.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (\cos (x))}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \cos (x)$ .

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Paso 3.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\cos (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\cos (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.3

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos (x)} \cdot - 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.4

Combina $\frac{1}{\cos (x)}$ y $\sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Paso 3.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{1}}$

Paso 3.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$e^{lim_{x \to 0} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot 1}$

Paso 3.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$e^{lim_{x \to 0} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Paso 4

Evalúa el límite.

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Paso 4.1

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$e^{- lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Paso 4.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$e^{- \frac{lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}}$

Paso 4.3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}}$

Paso 4.4

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}}$

Paso 5

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 5.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$e^{- \frac{\sin (0)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}}$

Paso 5.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$e^{- \frac{\sin (0)}{\cos (0)}}$

Paso 6

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.1

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$e^{- \frac{0}{\cos (0)}}$

Paso 6.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$e^{- \frac{0}{1}}$

Paso 6.3

Divide $0$ por $1$ .

$e^{- 0}$

Paso 6.4

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$e^{0}$

Paso 6.5

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$1$