Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{3 x + 2 x^{2}}{5 x + 6 x^{3}}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} 3 x + 2 x^{2}}{lim_{x \to 0} 5 x + 6 x^{3}}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 3 x + lim_{x \to 0} 2 x^{2}}{lim_{x \to 0} 5 x + 6 x^{3}}$

Paso 1.1.2.2

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 2 x^{2}}{lim_{x \to 0} 5 x + 6 x^{3}}$

Paso 1.1.2.3

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to 0} x + 2 lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} 5 x + 6 x^{3}}$

Paso 1.1.2.4

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{3 lim_{x \to 0} x + 2 {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} 5 x + 6 x^{3}}$

Paso 1.1.2.5

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.1.2.5.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 2 {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} 5 x + 6 x^{3}}$

Paso 1.1.2.5.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 2 \cdot 0^{2}}{lim_{x \to 0} 5 x + 6 x^{3}}$

Paso 1.1.2.6

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.6.1.1

Multiplica $3$ por $0$ .

$\frac{0 + 2 \cdot 0^{2}}{lim_{x \to 0} 5 x + 6 x^{3}}$

Paso 1.1.2.6.1.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{0 + 2 \cdot 0}{lim_{x \to 0} 5 x + 6 x^{3}}$

Paso 1.1.2.6.1.3

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} 5 x + 6 x^{3}}$

Paso 1.1.2.6.2

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 5 x + 6 x^{3}}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 5 x + lim_{x \to 0} 6 x^{3}}$

Paso 1.1.3.2

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{5 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 6 x^{3}}$

Paso 1.1.3.3

Mueve el término $6$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{5 lim_{x \to 0} x + 6 lim_{x \to 0} x^{3}}$

Paso 1.1.3.4

Mueve el exponente $3$ de $x^{3}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{0}{5 lim_{x \to 0} x + 6 {(lim_{x \to 0} x)}^{3}}$

Paso 1.1.3.5

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.1.3.5.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{5 \cdot 0 + 6 {(lim_{x \to 0} x)}^{3}}$

Paso 1.1.3.5.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{5 \cdot 0 + 6 \cdot 0^{3}}$

Paso 1.1.3.6

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.3.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.6.1.1

Multiplica $5$ por $0$ .

$\frac{0}{0 + 6 \cdot 0^{3}}$

Paso 1.1.3.6.1.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{0}{0 + 6 \cdot 0}$

Paso 1.1.3.6.1.3

Multiplica $6$ por $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Paso 1.1.3.6.2

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.6.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.7

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{3 x + 2 x^{2}}{5 x + 6 x^{3}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 x + 2 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [5 x + 6 x^{3}]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 x + 2 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [5 x + 6 x^{3}]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x + 2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [5 x + 6 x^{3}]}$

Paso 1.3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Paso 1.3.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [5 x + 6 x^{3}]}$

Paso 1.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [5 x + 6 x^{3}]}$

Paso 1.3.3.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [5 x + 6 x^{3}]}$

Paso 1.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Paso 1.3.4.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [5 x + 6 x^{3}]}$

Paso 1.3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 + 2 (2 x)}{\frac{d}{d x} [5 x + 6 x^{3}]}$

Paso 1.3.4.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 + 4 x}{\frac{d}{d x} [5 x + 6 x^{3}]}$

Paso 1.3.5

Reordena los términos.

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 3}{\frac{d}{d x} [5 x + 6 x^{3}]}$

Paso 1.3.6

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x + 6 x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [6 x^{3}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 3}{\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [6 x^{3}]}$

Paso 1.3.7

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Paso 1.3.7.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 3}{5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6 x^{3}]}$

Paso 1.3.7.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 3}{5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6 x^{3}]}$

Paso 1.3.7.3

Multiplica $5$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 3}{5 + \frac{d}{d x} [6 x^{3}]}$

Paso 1.3.8

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 x^{3}]$ .

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Paso 1.3.8.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x^{3}$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 3}{5 + 6 \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 1.3.8.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 3}{5 + 6 (3 x^{2})}$

Paso 1.3.8.3

Multiplica $3$ por $6$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 3}{5 + 18 x^{2}}$

Paso 1.3.9

Reordena los términos.

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 3}{18 x^{2} + 5}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 4 x + 3}{lim_{x \to 0} 18 x^{2} + 5}$

Paso 2.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 4 x + lim_{x \to 0} 3}{lim_{x \to 0} 18 x^{2} + 5}$

Paso 2.3

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 3}{lim_{x \to 0} 18 x^{2} + 5}$

Paso 2.4

Evalúa el límite de $3$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{4 lim_{x \to 0} x + 3}{lim_{x \to 0} 18 x^{2} + 5}$

Paso 2.5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{4 lim_{x \to 0} x + 3}{lim_{x \to 0} 18 x^{2} + lim_{x \to 0} 5}$

Paso 2.6

Mueve el término $18$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to 0} x + 3}{18 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 5}$

Paso 2.7

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{4 lim_{x \to 0} x + 3}{18 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 5}$

Paso 2.8

Evalúa el límite de $5$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{4 lim_{x \to 0} x + 3}{18 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 5}$

Paso 3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 3.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{4 \cdot 0 + 3}{18 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 5}$

Paso 3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{4 \cdot 0 + 3}{18 \cdot 0^{2} + 5}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Multiplica $4$ por $0$ .

$\frac{0 + 3}{18 \cdot 0^{2} + 5}$

Paso 4.1.2

Suma $0$ y $3$ .

$\frac{3}{18 \cdot 0^{2} + 5}$

Paso 4.2

Simplifica el denominador.

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Paso 4.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{3}{18 \cdot 0 + 5}$

Paso 4.2.2

Multiplica $18$ por $0$ .

$\frac{3}{0 + 5}$

Paso 4.2.3

Suma $0$ y $5$ .

$\frac{3}{5}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{3}{5}$

Forma decimal:

$0.6$