Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{\sin^{2} (3 x)}$

Paso 1

Convierte de $\frac{1}{\sin^{2} (3 x)}$ a $\csc^{2} (3 x)$ .

$lim_{x \to 0} x^{2} \csc^{2} (3 x)$

Paso 2

Reescribe $x^{2} \csc^{2} (3 x)$ como $\frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (3 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (3 x)}$

Paso 3

Establece el límite como un límite izquierdo.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (3 x)}$

Paso 4

Evalúa el límite izquierdo.

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Paso 4.1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 4.1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 4.1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0^{-}} x^{2}}{lim_{x \to 0^{-}} \csc^{- 2} (3 x)}$

Paso 4.1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 4.1.1.2.1

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{{(lim_{x \to 0^{-}} x)}^{2}}{lim_{x \to 0^{-}} \csc^{- 2} (3 x)}$

Paso 4.1.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0^{-}} \csc^{- 2} (3 x)}$

Paso 4.1.1.2.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} \csc^{- 2} (3 x)}$

Paso 4.1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 4.1.1.3.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\csc^{2} (3 x)}}$

Paso 4.1.1.3.2

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{\csc^{2} (3 x)}$ se acerca a $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 4.1.1.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 4.1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 4.1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (3 x)} = lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (3 x)]}$

Paso 4.1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 4.1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (3 x)]}$

Paso 4.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (3 x)]}$

Paso 4.1.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 2}$ y $g (x) = \csc (3 x)$ .

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Paso 4.1.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\csc (3 x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 2}] \frac{d}{d x} [\csc (3 x)]}$

Paso 4.1.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = - 2$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{- 2 {u_{1}}^{- 3} \frac{d}{d x} [\csc (3 x)]}$

Paso 4.1.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\csc (3 x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (3 x) \frac{d}{d x} [\csc (3 x)]}$

Paso 4.1.3.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \csc (x)$ y $g (x) = 3 x$ .

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Paso 4.1.3.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $3 x$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])}$

Paso 4.1.3.4.2

La derivada de $\csc (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (3 x) (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])}$

Paso 4.1.3.4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $3 x$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (3 x) (- \csc (3 x) \cot (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}$

Paso 4.1.3.5

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 3} (3 x) (\csc (3 x) \cot (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}$

Paso 4.1.3.6

Eleva $\csc (3 x)$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 (\csc^{1} (3 x) \csc^{- 3} (3 x)) (\cot (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}$

Paso 4.1.3.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 {\csc (3 x)}^{1 - 3} (\cot (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}$

Paso 4.1.3.8

Resta $3$ de $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 2} (3 x) (\cot (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}$

Paso 4.1.3.9

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 2} (3 x) \cot (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])}$

Paso 4.1.3.10

Multiplica $3$ por $2$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{6 \csc^{- 2} (3 x) \cot (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 4.1.3.11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{6 \csc^{- 2} (3 x) \cot (3 x) \cdot 1}$

Paso 4.1.3.12

Multiplica $6$ por $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{6 \csc^{- 2} (3 x) \cot (3 x)}$

Paso 4.1.3.13

Simplifica.

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Paso 4.1.3.13.1

Reescribe $\csc (3 x)$ en términos de senos y cosenos.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{6 {(\frac{1}{\sin (3 x)})}^{- 2} \cot (3 x)}$

Paso 4.1.3.13.2

Cambia el signo del exponente; para ello, reescribe la base como su recíproca.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{6 \sin^{2} (3 x) \cot (3 x)}$

Paso 4.1.3.13.3

Reescribe $\cot (3 x)$ en términos de senos y cosenos.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{6 \sin^{2} (3 x) \frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}}$

Paso 4.1.3.13.4

Cancela el factor común de $\sin (3 x)$ .

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Paso 4.1.3.13.4.1

Factoriza $\sin (3 x)$ de $6 \sin^{2} (3 x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\sin (3 x) (6 \sin (3 x)) \frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}}$

Paso 4.1.3.13.4.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\sin (3 x) (6 \sin (3 x)) \frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}}$

Paso 4.1.3.13.4.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{6 \sin (3 x) \cos (3 x)}$

Paso 4.1.4

Cancela el factor común de $2$ y $6$ .

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Paso 4.1.4.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 (x)}{6 \sin (3 x) \cos (3 x)}$

Paso 4.1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.1.4.2.1

Factoriza $2$ de $6 \sin (3 x) \cos (3 x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 (x)}{2 (3 \sin (3 x) \cos (3 x))}$

Paso 4.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 (3 \sin (3 x) \cos (3 x))}$

Paso 4.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x}{3 \sin (3 x) \cos (3 x)}$

Paso 4.1.5

Separa las fracciones.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x}{3 \cos (3 x)} \cdot \frac{1}{\sin (3 x)}$

Paso 4.1.6

Convierte de $\frac{1}{\sin (3 x)}$ a $\csc (3 x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x}{3 \cos (3 x)} \csc (3 x)$

Paso 4.1.7

Separa las fracciones.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x}{3} \cdot \frac{1}{\cos (3 x)} \csc (3 x)$

Paso 4.1.8

Convierte de $\frac{1}{\cos (3 x)}$ a $\sec (3 x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x}{3} \sec (3 x) \csc (3 x)$

Paso 4.1.9

Combina $\frac{x}{3}$ y $\sec (3 x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x \sec (3 x)}{3} \csc (3 x)$

Paso 4.1.10

Combina $\frac{x \sec (3 x)}{3}$ y $\csc (3 x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x \sec (3 x) \csc (3 x)}{3}$

Paso 4.2

Mueve el término $\frac{1}{3}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0^{-}} x \sec (3 x) \csc (3 x)$

Paso 4.3

Haz una tabla para mostrar el comportamiento de la función $x \sec (3 x) \csc (3 x)$ a medida que $x$ se acerca a $0$ desde la izquierda.

$\begin{array}{c} x & x \sec (3 x) \csc (3 x) \\ - 0.1 & 0.35420643 \\ - 0.01 & 0.33353341 \\ - 0.001 & 0.33333533 \\ - 0.0001 & 0.33333335 \end{array}$

Paso 4.4

A medida que los valores de $x$ se acercan a $0$ , los valores de la función se acercan a $0.333$ . Por lo tanto, el límite de $x \sec (3 x) \csc (3 x)$ a medida que $x$ se acerca a $0$ desde la izquierda es $0.333$ .

$\frac{1}{3} \cdot 0.333$

Paso 4.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.5.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $0.333$ .

$\frac{0.333}{3}$

Paso 4.5.2

Divide $0.333$ por $3$ .

$0.111$

Paso 5

Establece el límite como un límite derecho.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (3 x)}$

Paso 6

Evalúa el límite derecho.

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Paso 6.1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 6.1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 6.1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} x^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (3 x)}$

Paso 6.1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 6.1.1.2.1

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{{(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (3 x)}$

Paso 6.1.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (3 x)}$

Paso 6.1.1.2.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (3 x)}$

Paso 6.1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 6.1.1.3.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\csc^{2} (3 x)}}$

Paso 6.1.1.3.2

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{\csc^{2} (3 x)}$ se acerca a $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 6.1.1.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 6.1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 6.1.2

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (3 x)} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (3 x)]}$

Paso 6.1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 6.1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (3 x)]}$

Paso 6.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (3 x)]}$

Paso 6.1.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 2}$ y $g (x) = \csc (3 x)$ .

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Paso 6.1.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\csc (3 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 2}] \frac{d}{d x} [\csc (3 x)]}$

Paso 6.1.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = - 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{- 2 {u_{1}}^{- 3} \frac{d}{d x} [\csc (3 x)]}$

Paso 6.1.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\csc (3 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (3 x) \frac{d}{d x} [\csc (3 x)]}$

Paso 6.1.3.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \csc (x)$ y $g (x) = 3 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.3.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $3 x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])}$

Paso 6.1.3.4.2

La derivada de $\csc (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (3 x) (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])}$

Paso 6.1.3.4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $3 x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (3 x) (- \csc (3 x) \cot (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}$

Paso 6.1.3.5

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 3} (3 x) (\csc (3 x) \cot (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}$

Paso 6.1.3.6

Eleva $\csc (3 x)$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 (\csc^{1} (3 x) \csc^{- 3} (3 x)) (\cot (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}$

Paso 6.1.3.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 {\csc (3 x)}^{1 - 3} (\cot (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}$

Paso 6.1.3.8

Resta $3$ de $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 2} (3 x) (\cot (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}$

Paso 6.1.3.9

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 2} (3 x) \cot (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])}$

Paso 6.1.3.10

Multiplica $3$ por $2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{6 \csc^{- 2} (3 x) \cot (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 6.1.3.11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{6 \csc^{- 2} (3 x) \cot (3 x) \cdot 1}$

Paso 6.1.3.12

Multiplica $6$ por $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{6 \csc^{- 2} (3 x) \cot (3 x)}$

Paso 6.1.3.13

Simplifica.

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Paso 6.1.3.13.1

Reescribe $\csc (3 x)$ en términos de senos y cosenos.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{6 {(\frac{1}{\sin (3 x)})}^{- 2} \cot (3 x)}$

Paso 6.1.3.13.2

Cambia el signo del exponente; para ello, reescribe la base como su recíproca.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{6 \sin^{2} (3 x) \cot (3 x)}$

Paso 6.1.3.13.3

Reescribe $\cot (3 x)$ en términos de senos y cosenos.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{6 \sin^{2} (3 x) \frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}}$

Paso 6.1.3.13.4

Cancela el factor común de $\sin (3 x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.3.13.4.1

Factoriza $\sin (3 x)$ de $6 \sin^{2} (3 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\sin (3 x) (6 \sin (3 x)) \frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}}$

Paso 6.1.3.13.4.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\sin (3 x) (6 \sin (3 x)) \frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}}$

Paso 6.1.3.13.4.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{6 \sin (3 x) \cos (3 x)}$

Paso 6.1.4

Cancela el factor común de $2$ y $6$ .

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Paso 6.1.4.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 (x)}{6 \sin (3 x) \cos (3 x)}$

Paso 6.1.4.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.4.2.1

Factoriza $2$ de $6 \sin (3 x) \cos (3 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 (x)}{2 (3 \sin (3 x) \cos (3 x))}$

Paso 6.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 (3 \sin (3 x) \cos (3 x))}$

Paso 6.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{3 \sin (3 x) \cos (3 x)}$

Paso 6.1.5

Separa las fracciones.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{3 \cos (3 x)} \cdot \frac{1}{\sin (3 x)}$

Paso 6.1.6

Convierte de $\frac{1}{\sin (3 x)}$ a $\csc (3 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{3 \cos (3 x)} \csc (3 x)$

Paso 6.1.7

Separa las fracciones.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{3} \cdot \frac{1}{\cos (3 x)} \csc (3 x)$

Paso 6.1.8

Convierte de $\frac{1}{\cos (3 x)}$ a $\sec (3 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{3} \sec (3 x) \csc (3 x)$

Paso 6.1.9

Combina $\frac{x}{3}$ y $\sec (3 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \sec (3 x)}{3} \csc (3 x)$

Paso 6.1.10

Combina $\frac{x \sec (3 x)}{3}$ y $\csc (3 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \sec (3 x) \csc (3 x)}{3}$

Paso 6.2

Mueve el término $\frac{1}{3}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0^{+}} x \sec (3 x) \csc (3 x)$

Paso 6.3

Haz una tabla para mostrar el comportamiento de la función $x \sec (3 x) \csc (3 x)$ a medida que $x$ se acerca a $0$ desde la derecha.

$\begin{array}{c} x & x \sec (3 x) \csc (3 x) \\ 0.1 & 0.35420643 \\ 0.01 & 0.33353341 \\ 0.001 & 0.33333533 \\ 0.0001 & 0.33333335 \end{array}$

Paso 6.4

$\frac{1}{3} \cdot 0.333$

Paso 6.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.5.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $0.333$ .

$\frac{0.333}{3}$

Paso 6.5.2

Divide $0.333$ por $3$ .

$0.111$

Paso 7

Como el límite izquierdo es igual al límite derecho, el límite es igual a $0.111$ .

$0.111$