Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{t} + t^{2}}{3 t - t^{2}}$

Paso 1

Evalúa el límite de $\frac{\sqrt{t} + t^{2}}{3 t - t^{2}}$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{\sqrt{t} + t^{2}}{3 t - t^{2}}$

Paso 2

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{t}$ como $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} + t^{2}}{3 t - t^{2}}$

Paso 2.1.2

Factoriza $t^{\frac{1}{2}}$ de $t^{\frac{1}{2}} + t^{2}$ .

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Paso 2.1.2.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + t^{2}}{3 t - t^{2}}$

Paso 2.1.2.2

Factoriza $t^{\frac{1}{2}}$ de $t^{2}$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + t^{\frac{1}{2}} t^{\frac{3}{2}}}{3 t - t^{2}}$

Paso 2.1.2.3

Factoriza $t^{\frac{1}{2}}$ de $t^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + t^{\frac{1}{2}} t^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (1 + t^{\frac{3}{2}})}{3 t - t^{2}}$

Paso 2.1.3

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (1^{3} + t^{\frac{3}{2}})}{3 t - t^{2}}$

Paso 2.1.4

Reescribe $t^{\frac{3}{2}}$ como ${(t^{\frac{1}{2}})}^{3}$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (1^{3} + {(t^{\frac{1}{2}})}^{3})}{3 t - t^{2}}$

Paso 2.1.5

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la suma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , donde $a = 1$ y $b = t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} ((1 + t^{\frac{1}{2}}) (1^{2} - 1 t^{\frac{1}{2}} + {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}))}{3 t - t^{2}}$

Paso 2.1.6

Simplifica.

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Paso 2.1.6.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{t^{\frac{1}{2}} ((1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - 1 t^{\frac{1}{2}} + {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}))}{3 t - t^{2}}$

Paso 2.1.6.2

Reescribe $- 1 t^{\frac{1}{2}}$ como $- t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} ((1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}))}{3 t - t^{2}}$

Paso 2.1.6.3

Multiplica los exponentes en ${(t^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.1.6.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} ((1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2} \cdot 2}))}{3 t - t^{2}}$

Paso 2.1.6.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.6.3.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{t^{\frac{1}{2}} ((1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2} \cdot 2}))}{3 t - t^{2}}$

Paso 2.1.6.3.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{t^{\frac{1}{2}} ((1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t^{1}))}{3 t - t^{2}}$

Paso 2.1.6.4

Simplifica.

$\frac{t^{\frac{1}{2}} ((1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t))}{3 t - t^{2}}$

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{3 t - t^{2}}$

Paso 2.2

Factoriza $t$ de $3 t - t^{2}$ .

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Paso 2.2.1

Factoriza $t$ de $3 t$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t \cdot 3 - t^{2}}$

Paso 2.2.2

Factoriza $t$ de $- t^{2}$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t \cdot 3 + t (- t)}$

Paso 2.2.3

Factoriza $t$ de $t \cdot 3 + t (- t)$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t (3 - t)}$

Paso 2.3

Mueve $t^{\frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{(1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t (3 - t) t^{- \frac{1}{2}}}$

Paso 2.4

Multiplica $t$ por $t^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.4.1

Mueve $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{(1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t^{- \frac{1}{2}} t (3 - t)}$

Paso 2.4.2

Multiplica $t^{- \frac{1}{2}}$ por $t$ .

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Paso 2.4.2.1

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$\frac{(1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t^{- \frac{1}{2}} t^{1} (3 - t)}$

Paso 2.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{(1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t^{- \frac{1}{2} + 1} (3 - t)}$

Paso 2.4.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{(1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} (3 - t)}$

Paso 2.4.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t^{\frac{- 1 + 2}{2}} (3 - t)}$

Paso 2.4.5

Suma $- 1$ y $2$ .

$\frac{(1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t^{\frac{1}{2}} (3 - t)}$