Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{9}{x^{x}} - \frac{5^{x}}{x}$

Paso 1

Establece el límite como un límite izquierdo.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{9}{x^{x}} - \frac{5^{x}}{x}$

Paso 2

Evalúa los límites al insertar el valor para la variable.

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Paso 2.1

Evalúa el límite de $\frac{9}{x^{x}} - \frac{5^{x}}{x}$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{9}{0^{0}} - \frac{5^{0}}{0}$

Paso 2.2

Como $\frac{9}{0^{0}} - \frac{5^{0}}{0}$ es indefinida, el límite no existe.

$No existe$

Paso 3

Establece el límite como un límite derecho.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{9}{x^{x}} - \frac{5^{x}}{x}$

Paso 4

Evalúa el límite derecho.

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Paso 4.1

Evalúa el límite.

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Paso 4.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{9}{x^{x}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Paso 4.1.2

Mueve el término $9$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$9 lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x^{x}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Paso 4.1.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$9 \frac{lim_{x \to 0^{+}} 1}{lim_{x \to 0^{+}} x^{x}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Paso 4.1.4

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$9 \frac{1}{lim_{x \to 0^{+}} x^{x}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Paso 4.2

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar el límite.

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Paso 4.2.1

Reescribe $x^{x}$ como $e^{\ln (x^{x})}$ .

$9 \frac{1}{lim_{x \to 0^{+}} e^{\ln (x^{x})}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Paso 4.2.2

Expande $\ln (x^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$9 \frac{1}{lim_{x \to 0^{+}} e^{x \ln (x)}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Paso 4.3

Mueve el límite dentro del exponente.

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} x \ln (x)}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Paso 4.4

Reescribe $x \ln (x)$ como $\frac{\ln (x)}{\frac{1}{x}}$ .

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{x}}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Paso 4.5

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 4.5.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 4.5.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$9 \frac{1}{e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Paso 4.5.1.2

A medida que $x$ se acerca a $0$ desde el lado derecho, $\ln (x)$ disminuye sin cota.

$9 \frac{1}{e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Paso 4.5.1.3

Como el numerador es una constante y el denominador se acerca a $0$ cuando $x$ se acerca a $0$ desde la derecha, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca al infinito.

$9 \frac{1}{e^{\frac{- \infty}{\infty}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Paso 4.5.1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$9 \frac{1}{e^{\frac{- \infty}{\infty}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Paso 4.5.2

Como $\frac{- \infty}{\infty}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Paso 4.5.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 4.5.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Paso 4.5.3.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Paso 4.5.3.3

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Paso 4.5.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- x^{- 2}}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Paso 4.5.3.5

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{x^{2}}}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Paso 4.5.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} \cdot - 1 x^{2}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Paso 4.5.5

Combina $\frac{1}{x}$ y $x^{2}$ .

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x^{2}}{x}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Paso 4.5.6

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

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Paso 4.5.6.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Paso 4.5.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.5.6.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x^{1}}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Paso 4.5.6.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Paso 4.5.6.2.3

Cancela el factor común.

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Paso 4.5.6.2.4

Reescribe la expresión.

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x}{1}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Paso 4.5.6.2.5

Divide $x$ por $1$ .

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} - x}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Paso 4.6

Evalúa el límite.

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Paso 4.6.1

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$9 \frac{1}{e^{- lim_{x \to 0^{+}} x}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Paso 4.6.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$9 \frac{1}{e^{0}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

Paso 4.7

Como el numerador es positivo y el denominador $x$ se acerca a cero y es mayor que cero para $x$ cerca de $0$ a la derecha, la función aumenta sin cota.

$9 \frac{1}{e^{0}} - \infty$

Paso 4.8

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.8.1.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$9 (\frac{1}{1}) - \infty$

Paso 4.8.1.2

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 4.8.1.2.1

Cancela el factor común.

$9 (\frac{1}{1}) - \infty$

Paso 4.8.1.2.2

Reescribe la expresión.

$9 \cdot 1 - \infty$

Paso 4.8.1.3

Multiplica $9$ por $1$ .

$9 - \infty$

Paso 4.8.1.4

Una constante no nula veces infinito es infinita.

$9 + - \infty$

Paso 4.8.2

Infinito más o menos un número es infinito.

$- \infty$

Paso 5

Si ninguno de los límites unilaterales existe, el límite no existe.

$No existe$