Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{3} + 1}{10 x^{3} - 3 x^{2} + 7}$

Paso 1

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x^{3}}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{10 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{3}} + \frac{7}{x^{3}}}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Cancela el factor común de $x^{3}$ .

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Paso 2.1.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x^{3}}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{10 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{3}} + \frac{7}{x^{3}}}$

Paso 2.1.2

Divide $5$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{10 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{3}} + \frac{7}{x^{3}}}$

Paso 2.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $x^{3}$ .

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Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{10 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 3 x^{2}}{x^{3}} + \frac{7}{x^{3}}}$

Paso 2.2.1.2

Divide $10$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{1}{x^{3}}}{10 + \frac{- 3 x^{2}}{x^{3}} + \frac{7}{x^{3}}}$

Paso 2.2.2

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x^{3}$ .

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Paso 2.2.2.1

Factoriza $x^{2}$ de $- 3 x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{1}{x^{3}}}{10 + \frac{x^{2} \cdot - 3}{x^{3}} + \frac{7}{x^{3}}}$

Paso 2.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.2.2.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{1}{x^{3}}}{10 + \frac{x^{2} \cdot - 3}{x^{2} x} + \frac{7}{x^{3}}}$

Paso 2.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{1}{x^{3}}}{10 + \frac{x^{2} \cdot - 3}{x^{2} x} + \frac{7}{x^{3}}}$

Paso 2.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{1}{x^{3}}}{10 + \frac{- 3}{x} + \frac{7}{x^{3}}}$

Paso 2.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{1}{x^{3}}}{10 - \frac{3}{x} + \frac{7}{x^{3}}}$

Paso 2.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 5 + \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 10 - \frac{3}{x} + \frac{7}{x^{3}}}$

Paso 2.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 5 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 10 - \frac{3}{x} + \frac{7}{x^{3}}}$

Paso 2.5

Evalúa el límite de $5$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{5 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 10 - \frac{3}{x} + \frac{7}{x^{3}}}$

Paso 3

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{3}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{5 + 0}{lim_{x \to \infty} 10 - \frac{3}{x} + \frac{7}{x^{3}}}$

Paso 4

Evalúa el límite.

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Paso 4.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{5 + 0}{lim_{x \to \infty} 10 - lim_{x \to \infty} \frac{3}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{3}}}$

Paso 4.2

Evalúa el límite de $10$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{5 + 0}{10 - lim_{x \to \infty} \frac{3}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{3}}}$

Paso 4.3

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{5 + 0}{10 - 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{3}}}$

Paso 5

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{5 + 0}{10 - 3 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{3}}}$

Paso 6

Mueve el término $7$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{5 + 0}{10 - 3 \cdot 0 + 7 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}$

Paso 7

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{3}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{5 + 0}{10 - 3 \cdot 0 + 7 \cdot 0}$

Paso 8

Simplifica la respuesta.

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Paso 8.1

Suma $5$ y $0$ .

$\frac{5}{10 - 3 \cdot 0 + 7 \cdot 0}$

Paso 8.2

Simplifica el denominador.

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Paso 8.2.1

Multiplica $- 3$ por $0$ .

$\frac{5}{10 + 0 + 7 \cdot 0}$

Paso 8.2.2

Multiplica $7$ por $0$ .

$\frac{5}{10 + 0 + 0}$

Paso 8.2.3

Suma $10 + 0$ y $0$ .

$\frac{5}{10 + 0}$

Paso 8.2.4

Suma $10$ y $0$ .

$\frac{5}{10}$

Paso 8.3

Cancela el factor común de $5$ y $10$ .

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Paso 8.3.1

Factoriza $5$ de $5$ .

$\frac{5 (1)}{10}$

Paso 8.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.3.2.1

Factoriza $5$ de $10$ .

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 2}$

Paso 8.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 2}$

Paso 8.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2}$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1}{2}$

Forma decimal:

$0.5$