Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\tan^{2} (x)}{x \sin (x)}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} \tan^{2} (x)}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.2.1.1

Mueve el exponente $2$ de $\tan^{2} (x)$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{{(lim_{x \to 0} \tan (x))}^{2}}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Paso 1.1.2.1.2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la tangente es continua.

$\frac{\tan^{2} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Paso 1.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{\tan^{2} (0)}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.3.1

El valor exacto de $\tan (0)$ es $0$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Paso 1.1.2.3.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Paso 1.1.3.2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Paso 1.1.3.3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.1.3.3.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Paso 1.1.3.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot \sin (0)}$

Paso 1.1.3.4

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.3.4.1

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

Paso 1.1.3.4.2

Multiplica $0$ por $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.4.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.5

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\tan^{2} (x)}{x \sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \tan (x)$ .

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Paso 1.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\tan (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Paso 1.3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 u \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Paso 1.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\tan (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Paso 1.3.3

La derivada de $\tan (x)$ con respecto a $x$ es $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \tan (x) \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Paso 1.3.4

Reordena los factores de $2 \tan (x) \sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Paso 1.3.5

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.6

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1}$

Paso 1.3.8

Multiplica $\sin (x)$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{x \cos (x) + \sin (x)}$

Paso 2

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x) \tan (x)}{x \cos (x) + \sin (x)}$

Paso 3

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 3.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 3.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$2 \frac{lim_{x \to 0} \sec^{2} (x) \tan (x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Paso 3.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 3.1.2.1

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$2 \frac{lim_{x \to 0} \sec^{2} (x) \cdot lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Paso 3.1.2.2

Mueve el exponente $2$ de $\sec^{2} (x)$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$2 \frac{{(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Paso 3.1.2.3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la secante es continua.

$2 \frac{\sec^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Paso 3.1.2.4

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la tangente es continua.

$2 \frac{\sec^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \tan (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Paso 3.1.2.5

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 3.1.2.5.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$2 \frac{\sec^{2} (0) \cdot \tan (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Paso 3.1.2.5.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$2 \frac{\sec^{2} (0) \cdot \tan (0)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Paso 3.1.2.6

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.1.2.6.1

El valor exacto de $\sec (0)$ es $1$ .

$2 \frac{1^{2} \cdot \tan (0)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Paso 3.1.2.6.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$2 \frac{1 \cdot \tan (0)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Paso 3.1.2.6.3

Multiplica $\tan (0)$ por $1$ .

$2 \frac{\tan (0)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Paso 3.1.2.6.4

El valor exacto de $\tan (0)$ es $0$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Paso 3.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 3.1.3.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Paso 3.1.3.2

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Paso 3.1.3.3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$2 \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Paso 3.1.3.4

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$2 \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Paso 3.1.3.5

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 3.1.3.5.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$2 \frac{0}{0 \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Paso 3.1.3.5.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$2 \frac{0}{0 \cdot \cos (0) + \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Paso 3.1.3.5.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$2 \frac{0}{0 \cdot \cos (0) + \sin (0)}$

Paso 3.1.3.6

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.1.3.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.3.6.1.1

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$2 \frac{0}{0 \cdot 1 + \sin (0)}$

Paso 3.1.3.6.1.2

Multiplica $0$ por $1$ .

$2 \frac{0}{0 + \sin (0)}$

Paso 3.1.3.6.1.3

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$2 \frac{0}{0 + 0}$

Paso 3.1.3.6.2

Suma $0$ y $0$ .

$2 (\frac{0}{0})$

Paso 3.1.3.6.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$2 (\frac{0}{0})$

Paso 3.1.3.7

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$2 (\frac{0}{0})$

Paso 3.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$2 (\frac{0}{0})$

Paso 3.2

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x) \tan (x)}{x \cos (x) + \sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Paso 3.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$2 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \sec^{2} (x)$ y $g (x) = \tan (x)$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Paso 3.3.3

La derivada de $\tan (x)$ con respecto a $x$ es $\sec^{2} (x)$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Paso 3.3.4

Multiplica $\sec^{2} (x)$ por $\sec^{2} (x)$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.4.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 lim_{x \to 0} \frac{{\sec (x)}^{2 + 2} + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Paso 3.3.4.2

Suma $2$ y $2$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{4} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Paso 3.3.5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \sec (x)$ .

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Paso 3.3.5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\sec (x)$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{4} (x) + \tan (x) \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Paso 3.3.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{4} (x) + \tan (x) \cdot 2 u \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Paso 3.3.5.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\sec (x)$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{4} (x) + \tan (x) \cdot 2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Paso 3.3.6

Mueve $2$ a la izquierda de $\tan (x)$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{4} (x) + 2 \cdot \tan (x) \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Paso 3.3.7

La derivada de $\sec (x)$ con respecto a $x$ es $\sec (x) \tan (x)$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{4} (x) + 2 \tan (x) \sec (x) \sec (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Paso 3.3.8

Eleva $\tan (x)$ a la potencia de $1$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{4} (x) + 2 \tan^{1} (x) \tan (x) \sec (x) \sec (x)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Paso 3.3.9

Eleva $\tan (x)$ a la potencia de $1$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{4} (x) + 2 \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) \sec (x) \sec (x)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Paso 3.3.10

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{4} (x) + 2 {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x) \sec (x)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Paso 3.3.11

Suma $1$ y $1$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) \sec (x) \sec (x)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Paso 3.3.12

Eleva $\sec (x)$ a la potencia de $1$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) \sec^{1} (x) \sec (x)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Paso 3.3.13

Eleva $\sec (x)$ a la potencia de $1$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) \sec^{1} (x) \sec^{1} (x)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Paso 3.3.14

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) {\sec (x)}^{1 + 1}}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Paso 3.3.15

Suma $1$ y $1$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Paso 3.3.16

Reordena los términos.

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \sec^{4} (x)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Paso 3.3.17

Según la regla de la suma, la derivada de $x \cos (x) + \sin (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \sec^{4} (x)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Paso 3.3.18

Evalúa $\frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ .

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Paso 3.3.18.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \cos (x)$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \sec^{4} (x)}{x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Paso 3.3.18.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \sec^{4} (x)}{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Paso 3.3.18.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \sec^{4} (x)}{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Paso 3.3.18.4

Multiplica $\cos (x)$ por $1$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \sec^{4} (x)}{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Paso 3.3.19

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \sec^{4} (x)}{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) + \cos (x)}$

Paso 3.3.20

Simplifica.

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Paso 3.3.20.1

Suma $\cos (x)$ y $\cos (x)$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \sec^{4} (x)}{x \cdot - 1 \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Paso 3.3.20.2

Reordena los términos.

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \sec^{4} (x)}{- x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Paso 4

Evalúa el límite.

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Paso 4.1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$2 \frac{lim_{x \to 0} 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \sec^{4} (x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Paso 4.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$2 \frac{lim_{x \to 0} 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + lim_{x \to 0} \sec^{4} (x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Paso 4.3

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$2 \frac{2 lim_{x \to 0} \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + lim_{x \to 0} \sec^{4} (x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Paso 4.4

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$2 \frac{2 lim_{x \to 0} \sec^{2} (x) \cdot lim_{x \to 0} \tan^{2} (x) + lim_{x \to 0} \sec^{4} (x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Paso 4.5

Mueve el exponente $2$ de $\sec^{2} (x)$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$2 \frac{2 {(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \tan^{2} (x) + lim_{x \to 0} \sec^{4} (x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Paso 4.6

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la secante es continua.

$2 \frac{2 \sec^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \tan^{2} (x) + lim_{x \to 0} \sec^{4} (x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Paso 4.7

Mueve el exponente $2$ de $\tan^{2} (x)$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$2 \frac{2 \sec^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot {(lim_{x \to 0} \tan (x))}^{2} + lim_{x \to 0} \sec^{4} (x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Paso 4.8

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la tangente es continua.

$2 \frac{2 \sec^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \tan^{2} (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \sec^{4} (x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Paso 4.9

Mueve el exponente $4$ de $\sec^{4} (x)$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$2 \frac{2 \sec^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \tan^{2} (lim_{x \to 0} x) + {(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{4}}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Paso 4.10

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la secante es continua.

$2 \frac{2 \sec^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \tan^{2} (lim_{x \to 0} x) + \sec^{4} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Paso 4.11

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$2 \frac{2 \sec^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \tan^{2} (lim_{x \to 0} x) + \sec^{4} (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} x \sin (x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x)}$

Paso 4.12

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$2 \frac{2 \sec^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \tan^{2} (lim_{x \to 0} x) + \sec^{4} (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x)}$

Paso 4.13

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$2 \frac{2 \sec^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \tan^{2} (lim_{x \to 0} x) + \sec^{4} (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x)}$

Paso 4.14

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$2 \frac{2 \sec^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \tan^{2} (lim_{x \to 0} x) + \sec^{4} (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Paso 4.15

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$2 \frac{2 \sec^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \tan^{2} (lim_{x \to 0} x) + \sec^{4} (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Paso 5

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 5.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$2 \frac{2 \sec^{2} (0) \cdot \tan^{2} (lim_{x \to 0} x) + \sec^{4} (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Paso 5.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$2 \frac{2 \sec^{2} (0) \cdot \tan^{2} (0) + \sec^{4} (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Paso 5.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$2 \frac{2 \sec^{2} (0) \cdot \tan^{2} (0) + \sec^{4} (0)}{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Paso 5.4

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$2 \frac{2 \sec^{2} (0) \cdot \tan^{2} (0) + \sec^{4} (0)}{0 \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Paso 5.5

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$2 \frac{2 \sec^{2} (0) \cdot \tan^{2} (0) + \sec^{4} (0)}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Paso 5.6

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$2 \frac{2 \sec^{2} (0) \cdot \tan^{2} (0) + \sec^{4} (0)}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Paso 6

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1.1

El valor exacto de $\sec (0)$ es $1$ .

$2 \frac{2 \cdot 1^{2} \cdot \tan^{2} (0) + \sec^{4} (0)}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Paso 6.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$2 \frac{2 \cdot 1 \cdot \tan^{2} (0) + \sec^{4} (0)}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Paso 6.1.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 \frac{2 \cdot \tan^{2} (0) + \sec^{4} (0)}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Paso 6.1.4

El valor exacto de $\tan (0)$ es $0$ .

$2 \frac{2 \cdot 0^{2} + \sec^{4} (0)}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Paso 6.1.5

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$2 \frac{2 \cdot 0 + \sec^{4} (0)}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Paso 6.1.6

Multiplica $2$ por $0$ .

$2 \frac{0 + \sec^{4} (0)}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Paso 6.1.7

El valor exacto de $\sec (0)$ es $1$ .

$2 \frac{0 + 1^{4}}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Paso 6.1.8

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$2 \frac{0 + 1}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Paso 6.1.9

Suma $0$ y $1$ .

$2 \frac{1}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Paso 6.2

Simplifica el denominador.

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Paso 6.2.1

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$2 \frac{1}{0 \cdot 0 + 2 \cos (0)}$

Paso 6.2.2

Multiplica $0$ por $0$ .

$2 \frac{1}{0 + 2 \cos (0)}$

Paso 6.2.3

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$2 \frac{1}{0 + 2 \cdot 1}$

Paso 6.2.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 \frac{1}{0 + 2}$

Paso 6.2.5

Suma $0$ y $2$ .

$2 (\frac{1}{2})$

Paso 6.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.3.1

Cancela el factor común.

$2 (\frac{1}{2})$

Paso 6.3.2

Reescribe la expresión.

$1$