Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{1 + (x - 1) \cos (x)}{4 x}$

Paso 1

Mueve el término $\frac{1}{4}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{1 + (x - 1) \cos (x)}{x}$

Paso 2

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 2.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 2.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1 + (x - 1) \cos (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 2.1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} (x - 1) \cos (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 + lim_{x \to 0} (x - 1) \cos (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.3

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 + lim_{x \to 0} x - 1 \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 + (lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 1) \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.5

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 + (lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1) \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.6

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 + (lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.7

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 2.1.2.7.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 + (0 - 1 \cdot 1) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.7.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 + (0 - 1 \cdot 1) \cdot \cos (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.8

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.1.2.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.8.1.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 + (0 - 1) \cdot \cos (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.8.1.2

Resta $1$ de $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 - 1 \cdot \cos (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.8.1.3

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.8.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.8.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 2.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 2.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{1 + (x - 1) \cos (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 + (x - 1) \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 2.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 + (x - 1) \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + (x - 1) \cos (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [(x - 1) \cos (x)]$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [(x - 1) \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [(x - 1) \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [(x - 1) \cos (x)]$ .

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Paso 2.3.4.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x - 1$ y $g (x) = \cos (x)$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{0 + (x - 1) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.4.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{0 + (x - 1) \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.4.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{0 + (x - 1) \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{0 + (x - 1) \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.4.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{0 + (x - 1) \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.4.6

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{0 + (x - 1) \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.4.7

Multiplica $\cos (x)$ por $1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{0 + (x - 1) \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.5

Simplifica.

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Paso 2.3.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{0 + x \cdot - 1 \sin (x) - 1 \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.5.2

Combina los términos.

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Paso 2.3.5.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{0 + x \cdot - 1 \sin (x) + 1 \sin (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.5.2.2

Multiplica $\sin (x)$ por $1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{0 + x \cdot - 1 \sin (x) + \sin (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.5.2.3

Suma $0$ y $x (- \sin (x)) + \sin (x) + \cos (x)$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{x \cdot - 1 \sin (x) + \sin (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.5.3

Reordena los términos.

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + \sin (x) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + \sin (x) + \cos (x)}{1}$

Paso 2.4

Divide $- x \sin (x) + \sin (x) + \cos (x)$ por $1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} - x \sin (x) + \sin (x) + \cos (x)$

Paso 3

Evalúa el límite.

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Paso 3.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{4} (- lim_{x \to 0} x \sin (x) + lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} \cos (x))$

Paso 3.2

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{4} (- lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} \cos (x))$

Paso 3.3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{1}{4} (- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} \cos (x))$

Paso 3.4

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{1}{4} (- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \cos (x))$

Paso 3.5

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{1}{4} (- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x))$

Paso 4

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 4.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{4} (0 \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x))$

Paso 4.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{4} (0 \cdot \sin (0) + \sin (lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x))$

Paso 4.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{4} (0 \cdot \sin (0) + \sin (0) + \cos (lim_{x \to 0} x))$

Paso 4.4

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{4} (0 \cdot \sin (0) + \sin (0) + \cos (0))$

Paso 5

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.1

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{1}{4} (0 \cdot 0 + \sin (0) + \cos (0))$

Paso 5.1.2

Multiplica $0$ por $0$ .

$\frac{1}{4} (0 + \sin (0) + \cos (0))$

Paso 5.1.3

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{1}{4} (0 + 0 + \cos (0))$

Paso 5.1.4

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{1}{4} (0 + 0 + 1)$

Paso 5.2

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{1}{4} (0 + 1)$

Paso 5.3

Suma $0$ y $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot 1$

Paso 5.4

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$\frac{1}{4}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1}{4}$

Forma decimal:

$0.25$