Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{12 (1 - \cos (x))}{x^{2}}$

Paso 1

Mueve el término $12$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$12 lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{x^{2}}$

Paso 2

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 2.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 2.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$12 \frac{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 2.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 2.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 2.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$12 \frac{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 2.1.2.1.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$12 \frac{1 - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 2.1.2.1.3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$12 \frac{1 - \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 2.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$12 \frac{1 - \cos (0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 2.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.3.1.1

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$12 \frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 2.1.2.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$12 \frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 2.1.2.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$12 \frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 2.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 2.1.3.1

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$12 \frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Paso 2.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$12 \frac{0}{0^{2}}$

Paso 2.1.3.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$12 (\frac{0}{0})$

Paso 2.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$12 (\frac{0}{0})$

Paso 2.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$12 (\frac{0}{0})$

Paso 2.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 2.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 2.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$12 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 2.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - \cos (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$12 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 2.3.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$12 lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 2.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Paso 2.3.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$12 lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 2.3.4.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$12 lim_{x \to 0} \frac{0 - - 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 2.3.4.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$12 lim_{x \to 0} \frac{0 + 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 2.3.4.4

Multiplica $\sin (x)$ por $1$ .

$12 lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 2.3.5

Suma $0$ y $\sin (x)$ .

$12 lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 2.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$12 lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{2 x}$

Paso 3

Mueve el término $\frac{1}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$12 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x}$

Paso 4

Como $\cos (x) \leq \frac{\sin (x)}{x} \leq 1$ y $lim_{x \to 0} \cos (x) = lim_{x \to 0} 1 = 1$ , aplica el teorema de la compresión.

$12 (\frac{1}{2}) \cdot 1$

Paso 5

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.1.1

Factoriza $2$ de $12$ .

$2 (6) \frac{1}{2} \cdot 1$

Paso 5.1.2

Cancela el factor común.

$2 \cdot 6 \frac{1}{2} \cdot 1$

Paso 5.1.3

Reescribe la expresión.

$6 \cdot 1$

Paso 5.2

Multiplica $6$ por $1$ .

$6$