Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} | x | \cos (\frac{π}{x})$

Paso 1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$lim_{x \to 0} | x | \cdot lim_{x \to 0} \cos (\frac{π}{x})$

Paso 1.2

Mueve el límite dentro de los signos de valor absoluto.

$| lim_{x \to 0} x | \cdot lim_{x \to 0} \cos (\frac{π}{x})$

Paso 2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$| 0 | \cdot lim_{x \to 0} \cos (\frac{π}{x})$

Paso 3

Considera el límite izquierdo.

$lim_{x \to 0^{-}} \cos (\frac{π}{x})$

Paso 4

Haz una tabla para mostrar el comportamiento de la función $\cos (\frac{π}{x})$ a medida que $x$ se acerca a $0$ desde la izquierda.

$\begin{array}{c} x & \cos (\frac{π}{x}) \\ - 0.1 & 1 \\ - 0.01 & 1 \\ - 0.001 & - 0.52509112 \\ - 0.0001 & 0.98390071 \\ - 0.00001 & 0.21498467 \\ - 0.000001 & - 0.11167431 \\ - 0.0000001 & 0.25336184 \\ - 0.00000001 & - 0.90154773 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0.99999999 \end{array}$

Paso 5

A medida que los valores de $x$ se acercan a $0$ , los valores de la función se acercan a $1$ . Por lo tanto, el límite de $\cos (\frac{π}{x})$ a medida que $x$ se acerca a $0$ desde la izquierda es $1$ .

$1$

Paso 6

Considera el límite derecho.

$lim_{x \to 0^{+}} \cos (\frac{π}{x})$

Paso 7

Haz una tabla para mostrar el comportamiento de la función $\cos (\frac{π}{x})$ a medida que $x$ se acerca a $0$ desde la derecha.

$\begin{array}{c} x & \cos (\frac{π}{x}) \\ 0.1 & 1 \\ 0.01 & 1 \\ 0.001 & - 0.66711772 \\ 0.0001 & - 0.10775036 \\ 0.00001 & 0.87550456 \\ 0.000001 & 0.98459857 \\ 0.0000001 & - 0.99950431 \\ 0.00000001 & 0.67066438 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0.99999999 \end{array}$

Paso 8

A medida que los valores de $x$ se acercan a $0$ , los valores de la función se acercan a $1$ . Por lo tanto, el límite de $\cos (\frac{π}{x})$ a medida que $x$ se acerca a $0$ desde la derecha es $1$ .

$| 0 | \cdot 1$

Paso 9

Simplifica la respuesta.

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Paso 9.1

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $0$ es $0$ .

$0 \cdot 1$

Paso 9.2

Multiplica $0$ por $1$ .

$0$