Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{x^{3}}{x - \arctan (x)}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} x^{3}}{lim_{x \to 0} x - \arctan (x)}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Mueve el exponente $3$ de $x^{3}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{3}}{lim_{x \to 0} x - \arctan (x)}$

Paso 1.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0^{3}}{lim_{x \to 0} x - \arctan (x)}$

Paso 1.1.2.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x - \arctan (x)}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} \arctan (x)}$

Paso 1.1.3.2

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.1.3.2.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{0 - lim_{x \to 0} \arctan (x)}$

Paso 1.1.3.2.2

Evalúa el límite de $\arctan (x)$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{0 - \arctan (0)}$

Paso 1.1.3.2.3

El valor exacto de $\arctan (0)$ es $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Paso 1.1.3.3

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{3}}{x - \arctan (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [x - \arctan (x)]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [x - \arctan (x)]}$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [x - \arctan (x)]}$

Paso 1.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x - \arctan (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \arctan (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \arctan (x)]}$

Paso 1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{1 + \frac{d}{d x} [- \arctan (x)]}$

Paso 1.3.5

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \arctan (x)]$ .

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Paso 1.3.5.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \arctan (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{1 - \frac{d}{d x} [\arctan (x)]}$

Paso 1.3.5.2

La derivada de $\arctan (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{1 - \frac{1}{1 + x^{2}}}$

Paso 1.3.6

Simplifica.

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Paso 1.3.6.1

Combina los términos.

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Paso 1.3.6.1.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} - \frac{1}{1 + x^{2}}}$

Paso 1.3.6.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{\frac{1 + x^{2} - 1}{1 + x^{2}}}$

Paso 1.3.6.1.3

Resta $1$ de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{\frac{x^{2} + 0}{1 + x^{2}}}$

Paso 1.3.6.1.4

Suma $x^{2}$ y $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{\frac{x^{2}}{1 + x^{2}}}$

Paso 1.3.6.2

Reordena los términos.

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{\frac{x^{2}}{x^{2} + 1}}$

Paso 1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to 0} 3 x^{2} \frac{x^{2} + 1}{x^{2}}$

Paso 1.5

Combina factores.

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Paso 1.5.1

Combina $3$ y $\frac{x^{2} + 1}{x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} x^{2} \frac{3 (x^{2} + 1)}{x^{2}}$

Paso 1.5.2

Combina $x^{2}$ y $\frac{3 (x^{2} + 1)}{x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} (3 (x^{2} + 1))}{x^{2}}$

Paso 1.6

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 1.6.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} (3 (x^{2} + 1))}{x^{2}}$

Paso 1.6.2

Divide $3 (x^{2} + 1)$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} 3 (x^{2} + 1)$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$3 lim_{x \to 0} x^{2} + 1$

Paso 2.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$3 (lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 1)$

Paso 2.3

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$3 ({(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 1)$

Paso 2.4

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$3 ({(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1)$

Paso 3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$3 (0^{2} + 1)$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$3 (0 + 1)$

Paso 4.2

Suma $0$ y $1$ .

$3 \cdot 1$

Paso 4.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$3$